Una gran respuesta a esta pregunta probablemente todavía no existe porque es un área de investigación relativamente joven y muy activa. por ejemplo, el libro completo de Ingo Wegeners sobre funciones booleanas de 1987 no tiene nada sobre el tema (excepto para analizar la complejidad del circuito del DFT).
Una intuición o conjetura simple es que parece que los grandes coeficientes de Fourier de orden superior indican la presencia de subfunciones que deben tener en cuenta muchas variables de entrada y, por lo tanto, requieren muchas puertas. es decir, la expansión de Fourier es aparentemente una forma natural de medir cuantitativamente la dureza de una función booleana. No he visto esto directamente probado, pero creo que se insinúa en muchos resultados. por ejemplo, el límite inferior de Khrapchenkos puede estar relacionado con los coeficientes de Fourier. [1]
Se puede tomar prestada otra analogía aproximada de EE u otros campos de ingeniería hasta cierto punto donde el análisis de Fourier se usa ampliamente. a menudo se usa para filtros EE / procesamiento de señal . Los coeficientes de Fourier representan una "banda" particular del filtro. La historia también es que el "ruido" parece manifestarse en rangos particulares de frecuencias, por ejemplo, bajo o alto. en CS, una analogía con el "ruido" es "aleatoriedad", pero también queda claro por mucha investigación (alcanzando un hito en, por ejemplo, [4]) que la aleatoriedad es básicamente lo mismo que la complejidad. (en algunos casos, la "entropía" también aparece en el mismo contexto). El análisis de Fourier parece ser adecuado para estudiar el "ruido" incluso en entornos CS. [2]
otra intuición o imagen proviene de la teoría de votación / elección. [2,3] es útil analizar las funciones booleanas como si tuvieran subcomponentes que "voten" e influyan en el resultado. es decir, el análisis de la votación es una especie de sistema de descomposición de funciones. esto también aprovecha cierta teoría de votación que alcanzó alturas de análisis matemático y que aparentemente precede al uso de muchos análisis de Fourier de funciones booleanas.
Además, el concepto de simetría parece ser primordial en el análisis de Fourier. cuanto más "simétrica" es la función, más se cancela el coeficiente de Fourier, y más "simple" es la función de calcular. pero también, cuanto más "aleatoria" y, por lo tanto, más compleja es la función, menos se cancelan los coeficientes. en otras palabras, la simetría y la simplicidad, y viceversa, la asimetría y la complejidad en la función parecen estar coordinadas de una manera que el análisis de Fourier puede medir.
[1] Sobre el análisis de Fourier de las funciones booleanas de Bernasconi, Codenotti, Simon
[2] Una breve introducción al análisis de Fourier sobre el cubo booleano (2008) por De Wolf
[3] Algunos temas sobre el análisis de las funciones booleanas por O'Donnell
[4] Pruebas naturales de Razborov y Rudich.