¿Se puede probar

Resultado 1: el teorema de Linial-Mansour-Nisan dice que el peso de Fourier de las funciones calculadas por los circuitos $\mathsf{AC}^0$ se concentra en los subconjuntos de pequeño tamaño con alta probabilidad.

Resultado 2: El $\mathsf{PARITY}$ tiene su peso de Fourier concentrado en el coeficiente de grado $n$ .

Pregunta: ¿Hay alguna manera de demostrar (si es demostrable) que $\mathsf{PARITY}$ no es computable por los circuitos $\mathsf{AC}^0$ través de / usando los resultados 1 y 2?

— Stattrav
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¿No es esta una aplicación obvia del teorema de Linial-Mansour-Nisan? La forma en que se prueba el teorema de LMN (en particular, si se prueba por argumento probabilístico o no) es irrelevante.

— Tsuyoshi Ito

al mismo tiempo, ¿no se prueba el teorema de Linial-Mansour-Nisan asumiendo el teorema de Hastad? Me parece un perro persiguiendo su propia cola ...

— Alessandro Cosentino

Así es como el límite inferior en el tamaño de un circuito AC0 que se aproxima a la paridad se deriva en las notas de Ryan O'Donnell . Ver corolario 32.

— Sasho Nikolov

Creo que la pregunta más interesante está en su comentario: es cada función cuyo espectro de Fourier se concentra en coeficientes de bajo nivel computables por circuitos AC0 de pequeño tamaño.

— Sasho Nikolov

@Strattav Entonces podrías hacer esa pregunta.

— Tyson Williams

El teorema de LMN muestra que si f es una función booleana computable por un circuito de tamaño M, $(f:\{-1,1\}^n \rightarrow \{-1,1\})$ $\text{AC}^0$

\sum_{S : | S | > k} \hat{f} (S)^{2} \leq 2^{- Ω (k / (\log M)^{d - 1})}

$\sum_{S:|S|> k} \hat f(S)^{2} \leq 2^{-\Omega(k/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow \hat f([n])^{2} \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

$|\hat f([n])|$ $(\prod_{i = 1}^{n}x_i)$ $\delta$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} 1 - 2 δ \leq | 1 - 2 δ | & = | \hat{f} ([n]) | \leq 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow δ & \geq 1 - 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} 1 -2 \delta \leq |1 - 2\delta| &= |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow \delta &\geq 1 - 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})} \end{align}$

$poly(n)$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} δ & \leq \frac{1}{2^{n}} \\ \Rightarrow 2^{n} & \geq 2^{(c n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow (\log M)^{d - 1} & \geq (c - 1) n \\ \Rightarrow M & \geq 2^{Ω (n^{1 / d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} \delta &\leq \frac{1}{2^n}\\ \Rightarrow 2^n &\geq 2^{(cn/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow (\log M)^{d-1} &\geq (c-1)n \\ \Rightarrow M &\geq 2^{\Omega (n^{1/d-1})} \end{align}$

So, LMN theorem not only proves that $PARITY$ cannot be computed by $AC^{0}$ circuits, it also shows that $PARITY$ has low correlation with $AC^{0}$ circuits.

— Tulasi
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