Hay casos en los que las simetrías de un problema (parecen) caracterizan su complejidad. Un ejemplo muy interesante son los problemas de satisfacción de restricciones (CSP).
Definición de CSP
Un CSP viene dado por un dominio y un lenguaje de restricción Γ ( k -ary funciona de U k a { 0 , 1 } ). Una instancia de satisfacción de restricciones viene dada por un conjunto de variables V y restricciones de ΓUΓkUk{ 0 , 1 }VΓϕ : V→ U
ΓU{ 0 , 1 }ΓkU{ 0 , 1 } .
Polimorfismos
ϕ1, ... , ϕtF: Ut→ Uϕϕ ( v ) = f( ϕ1( v ) , ... , ϕt( v ) )Ft
F( x , y, z) = x + y+ z( mod2 )F( x , x , y) = f( y, x , x ) = yF que satisface esta propiedad se conoce como operación Maltsev. Los CSP que tienen un polimorfismo de Maltsev se pueden resolver mediante eliminación gaussiana.
F( x , y) = x
Polimorfismos y Complejidad (la conjetura de la dicotomía)
Γ1Γ2Γ1Γ2Γ2Γ1 es, de hecho, más difícil.
Un gran problema abierto en la teoría de la complejidad es caracterizar la dureza de los CSP. La conjetura de la dicotomía de Feder y Vardi establece que cualquier CSP está en P o NP completo. La conjetura se puede reducir a una declaración sobre polimorfismos: un CSP es NP-hard si y solo si los únicos polimorfismos que admite son "dictadores" (de lo contrario, está en P). Es decir, un CSP es difícil solo si no hay una forma local de formar soluciones nuevas genuinas a partir de soluciones antiguas. Se conoce la parte if (dureza), pero la única parte if (diseño de un algoritmo polytime) está abierta.
U= { 0 , 1 } , un CSP booleano está en P si admite uno de los 6 polimorfismos, de lo contrario es NP-completo. Los seis polimorfismos son básicamente lo que necesita para resolver el problema, ya sea por eliminación gaussiana o por propagación (como lo hace con horn-sat, por ejemplo), o para resolverlo mediante una tarea trivial.
Para leer más sobre polimorfismos, álgebra universal y la conjetura de la dicotomía, puede consultar la encuesta de Bulatov .
Polimorfismos y aproximabilidad
También recomiendo un conferencia IAS por Prasad Raghavendra donde expone su resultadodando una aproximabilidad óptima de cualquier CSP asumiendo la conjetura de juegos únicos en un marco similar. En un nivel alto, si todos los polimorfismos (esto necesita ser generalizado para manejar problemas de aproximación) de un CSP están cerca de los dictadores, uno puede usar el CSP para diseñar una forma de probar si una función es un dictador, y eso resulta sea todo lo que necesita para ofrecer una dureza de reducción de aproximación de juegos únicos. Esto le da a la dureza la dirección de su resultado; la dirección algorítmica es que cuando un CSP tiene un polimorfismo que está lejos de ser un dictador, uno puede usar un principio de invariancia (generalización de los teoremas del límite central) para argumentar que un algoritmo de redondeo SDP da una buena aproximación. Una intuición realmente incompleta para la parte algorítmica: un polimorfismo que está lejos de ser un dictador no No importa si se proporciona como argumentos (una distribución sobre) asignaciones variables o variables aleatorias gaussianas que se aproximan localmente a una distribución sobre asignaciones variables. Esta es la misma forma en que una función de suma "no importa" si el teorema del límite central le da variables aleatorias discretas con una pequeña varianza o rv gaussianos con la misma varianza. Las variables aleatorias gaussianas que necesitamos pueden calcularse a partir de una relajación SDP del problema CSP. Entonces encontramos un polimorfismo que está lejos de ser un dictador, lo alimentamos con muestras gaussianas y recuperamos una buena solución. si se le dan variables aleatorias discretas con una pequeña varianza o rv gaussianos con la misma varianza, por el teorema del límite central. Las variables aleatorias gaussianas que necesitamos pueden calcularse a partir de una relajación SDP del problema CSP. Entonces encontramos un polimorfismo que está lejos de ser un dictador, lo alimentamos con muestras gaussianas y recuperamos una buena solución. si se le dan variables aleatorias discretas con una pequeña varianza o rv gaussianos con la misma varianza, por el teorema del límite central. Las variables aleatorias gaussianas que necesitamos pueden calcularse a partir de una relajación SDP del problema CSP. Entonces encontramos un polimorfismo que está lejos de ser un dictador, lo alimentamos con muestras gaussianas y recuperamos una buena solución.