Antecedentes
Una fórmula de lectura única sobre un conjunto de compuertas (también llamada base) es una fórmula en la que cada variable de entrada aparece una vez. Las fórmulas de lectura única se estudian comúnmente sobre la base De Morgan (que tiene las compuertas de 2 bits AND y OR, y la compuerta de 1 bit NO) y la base binaria completa (que tiene todas las compuertas de 2 bits).
Entonces, por ejemplo, el AND de 2 bits se puede escribir como una fórmula de lectura única sobre cualquier base, pero la paridad de 2 bits no se puede escribir como una fórmula de lectura única sobre la base de De Morgan.
El conjunto de todas las funciones que se pueden escribir como una fórmula de lectura única sobre la base de De Morgan tiene una caracterización combinatoria. Ver, por ejemplo, Caracterización combinatoria de fórmulas de lectura única por M. Karchmer, N. Linial, I. Newman, M. Saks, A. Wigderson.
Pregunta
¿Existe una caracterización alternativa del conjunto de funciones que puede calcularse mediante una fórmula de lectura única sobre la base binaria completa?
Pregunta más fácil (agregada en v2)
Si bien todavía estoy interesado en una respuesta a la pregunta original, ya que no he recibido ninguna respuesta, pensé que haría una pregunta más fácil: ¿Cuáles son algunas técnicas de límite inferior que funcionan para fórmulas sobre la base binaria completa? (Aparte de los que enumero a continuación).
Tenga en cuenta que ahora estoy tratando de reducir el límite del tamaño de la fórmula (= número de hojas). Para las fórmulas de lectura única, tenemos el tamaño de la fórmula = número de entradas. Entonces, si puede probar que una función necesita una fórmula de tamaño estrictamente mayor que n, entonces eso también significa que no puede representarse como una fórmula de lectura única.
Conozco las siguientes técnicas (junto con una referencia para cada técnica de la Complejidad de la función booleana: Avances y fronteras de Stasys Jukna ):
- Método de Nechiporuk para funciones universales (Sec. 6.2): muestra un límite inferior tamaño para una determinada función. Sin embargo, esto no le ayuda a encontrar límites más bajos para una función en particular que podría interesarle.
- Teorema de Nechiporuk usando subfunciones (Sec 6.5): Esta es una técnica adecuada de límite inferior en el sentido de que proporcionará un límite inferior para cualquier función que le interese. Por ejemplo, muestra que cualquier fórmula sobre la base binaria completa que representa el la función de distinción de elementos tiene tamaño . (Y este es el límite inferior más grande que la técnica puede probar, para cualquier función).