La entropía de una convolución sobre el hipercubo


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Digamos que tenemos una función f:Z2nR , de modo que xZ2nf(x)2=1 (por lo que podemos pensar en como una distribución). Es natural definir la entropía de dicha función de la siguiente manera: {f(x)2}xZ2n

H(f)=xZ2nf(x)2log(f(x)2).

Ahora, considere la convolución de consigo mismo: (Tenga en cuenta que dado que estamos tratando con , entonces )f

[ff](x)=yZ2nf(y)f(x+y).
Z2nx+y=xy

¿Es posible límite superior la entropía de (normalizado en su -norma, con el fin de que sea una distribución) por la entropía de ? Formalmente, ¿hay alguna constante tal que ffL2fC

H(ffff2)CH(f)

Esta pregunta se publicó en mathoverflow el primero de agosto: mathoverflow.net/questions/103668/… (por lo general, está bien realizar una publicación cruzada con un retraso como este, pero debe decir lo que está haciendo).
Colin McQuillan

Lo siento, no estaba al tanto de esta política.

La desigualdad de poder de entropía podría ser útil para usted: en.wikipedia.org/wiki/Entropy_power_inequality
O Meir

Respuestas:


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No hay tal . Defina por Cg:Z2nR

g(x1,,xn)={22n/3 if x1==xn=01 otherwise.

Entonces satisface gg

(gg)(x1,,xn)={24n/3+2n1 if x1==xn=022n/32+2n2 otherwise.

Deje . Entonces es (de hecho es exponencialmente pequeño en ), mientras que es aproximadamente .f=g/g2H(f)=H(g/g2)o(1)nH(gg/gg2)n

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