El primer enfoque se puede formalizar de la siguiente manera.
Sea un conjunto arbitrario de n puntos en la rama positiva de la parábola y = x 2 ; es decir,
P = { ( t 1 , t 2 1 ) , ( t 2 , t 2 2 ) , ... , ( t n , t 2 n ) }
para algunos números reales positivos t 1 , t 2 , ... , t nPAGSnortey= x2
PAGS= { ( t1, t21) , ( t2, t22) , … , ( Tnorte, t2norte) }
t1, t2, ... , tnorte. Sin pérdida de generalidad, suponga que estos puntos están indexados en orden creciente:
.
0 < t1< t2< ⋯ < tnorte
Reclamación: En la triangulación de Delaunay de , el punto más a la izquierda ( t 1 , t 2 1 ) es un vecino de cada otro punto en P .PAGS( t1, t21)PAGS
Esta afirmación implica que agregar un nuevo punto a P con 0 < t 0 < t 1 agrega n nuevas aristas a la triangulación de Delaunay. Por lo tanto, inductivamente, si contraemos incrementalmente la triangulación de Delaunay de P insertando los puntos en orden de derecha a izquierda , el número total de bordes de Delaunay creados es Ω ( n 2 ) .( t0 0, t20 0)PAGS0 < t0 0< t1nortePAGSΩ ( n2)
0 < a < b < cC( a , b , c )( a , a2) , ( b , b2) , ( c , c2)
Lema: no contiene ningún punto ( t , t 2 ) donde a < t < b o c < t .C( a , b , c )( t , t2)a < t < bc < t
Prueba: recuerde que cuatro puntos son cocirculares si y solo si
| 1 a b a 2 + b 2 1 c d c 2 + d 2 1 e f e 2 + f 2 1 g h g 2 +( a , b ) , ( c , d) , ( e , f) , ( g, H )
Por lo tanto, un punto(t,t2) seencuentra en el círculoC(a,b,c)si y solo si
| 1 a a 2 a 2 + a 4 1 b b 2 b 2 + b 4 1 c c 2 c 2 + c 4 1 t t 2 t 2 + t
∣∣∣∣∣∣1111unaCmisolsireFhuna2+ b2C2+ d2mi2+ f2sol2+ h2∣∣∣∣∣∣= 0
( t , t2)C( a , b , c )∣∣∣∣∣∣1111unasiCtuna2si2C2t2una2+ a4 4si2+ b4 4C2+ c4 4t2+ t4 4∣∣∣∣∣∣= 0
4 × 4( a - b ) ( a - c ) ( b - c ) ( a - t ) ( b - t ) ( c - t ) ( a + b + c + t ) = 0( ∗ )
( t , t2)C( a , b , c )t = at = bt = ct = - a - b - c < 00 < a < b < cC( a , b , c )( t , t2) C( a , b , c )- a - b - c < t < ab < t < c□