Generando un punto en un politopo racional

Considere un politopo racional que se define por medio de un oráculo de separación. Es decir, puede describirse implícitamente como , pero dado que es muy grande, utilizamos un oráculo, que da un punto , o bien dice o devuelve una media-espacio tal que .P P = { x ∈ R k : A x ≤ b , A ∈ Z m × k , b ∈ Z m } m x ∈ R k x ∈ P x ∉ $P$$P$$P = \{x \in R^k: Ax \leq b, A \in Z^{m \times k}, b \in Z^m \}$$m$$x \in R^k$$x \in P$$x \notin S$

Mi objetivo es encontrar un punto en o determinar que está vacío. Mi objetivo para un polinomio de tiempo de ejecución en el tamaño de representación de y , donde es el valor absoluto más grande de . Es decir, el algoritmo solo debe hacer muchas llamadas polinómicas al oráculo de separación.P U k U $P$$P$$U$$k$$U$$A$

En general, podría estar contenido en un hiperplano de dimensión inferior y, por lo tanto, es problemático utilizar el método elipsoide. Así, como en el truco de Khachiyan, me alter (y el oráculo de separación) para utilizar , en donde es algo así como . Intuitivamente, los medios espacios que definen son los mismos que los que definen solo que son traducidos por . El politopo tiene las siguientes propiedades: está vacío si está vacío, y si no está vacío,P P ϵ ϵ 1 / U P ϵ$P$$P$$P^\epsilon$$\epsilon$$1/U$$P^\epsilon$$P$$\epsilon$$P^\epsilon$$P^\epsilon$$P$$P$$P^\epsilon$ Es de dimensiones completas.

Mi pregunta es la siguiente: suponga que el algoritmo encuentra un punto . ¿Es posible generar un punto en usando ?$p \in P^\epsilon$$P$$p$

De cualquier elección de un politopo en R k , ε , y un punto Q en R k es posible encontrar un politopo P en R k + 1 , junto con una incrustación de R k en R k + 1 , de manera que P está dentro de ε distancia Hausdorff de (la imagen incrustada de) P y tal que (la imagen incrustada de) q pertenece a P$P$${\mathbb R}^k$$\epsilon$$q$${\mathbb R}^k$$\hat P$${\mathbb R}^{k+1}$${\mathbb R}^k$${\mathbb R}^{k+1}$$\hat P$$\epsilon$$P$$q$$\hat P^\epsilon$. Para ello, simplemente hacen las facetas de P ser casi paralelos a la imagen incrustada de R k , de modo que su traducción por ε en R k + 1 provoca su intersección con R k a alejarse de P por una distancia mayor mucho .$\hat P$${\mathbb R}^k$$\epsilon$${\mathbb R}^{k+1}$${\mathbb R}^k$$\hat P$

Debido a que era arbitrario, el conocimiento de q no sirve para encontrar un punto dentro o cerca de P ; todo lo que podrías hacer con él, podrías hacerlo sin él. Sin embargo, debido a P y P son tan cerca, encontrar un punto cercano a P es equivalente a encontrar un punto cercano a P . Por lo tanto, el conocimiento de q (un punto en P ε ) no es de utilidad en la búsqueda de un punto cerca de P .$q$$q$$P$$\hat P$$P$$P$$\hat P$$q$$\hat P^\epsilon$$\hat P$

Si su objetivo es encontrar un punto en o determinar que P está vacío, ¿por qué no hace lo siguiente?$P$$P$

Sea un conjunto de medios espacios, inicialmente vacíos.$H$

Sea un punto, inicialmente igual a 0 k .$x$$0^k$

1. Dale al oráculo.$x$

2. Si el oráculo dijo , lo has hecho.$x \in P$

3. De lo contrario, sea el medio espacio violado devuelto por el oráculo. Vamos y la proyección ortogonal de x en S . $S$$y$$x$$S$

   • Si existe al menos una tal que y ∉ T , entonces lo has hecho: P está vacío.$T \in H$$y \not \in T$$P$
   • De lo contrario, configure , y establezca x : = y . $H := H \cup \{S\}$$x := y$

4. Regrese a 1.