Complejidad de coloración de gráficos

Supongamos que es un gráfico con el número de colorante . Considere el siguiente juego entre Alice y Bob. En cada ronda, Alice elige un vértice y Bob responde con un color en para este vértice. El juego termina cuando se descubre un borde monocromático. Deje que sea la duración máxima del juego bajo el juego óptimo de ambos jugadores (Alice quiere acortar el juego lo más posible, Bob quiere retrasarlo lo más posible). Por ejemplo, y . $G$ $d = \chi(G)$ $\{1,\ldots,d-1\}$ $X(G)$ $X(K_n) = n$ $X(C_{2n+1}) = \Theta(\log n)$

¿Se conoce este juego?

— Yuval Filmus
fuente

Creo que puedes modelar esto como un juego Ehrenfeucht – Fraïssé .

— Tyson Williams

parece estar muy relacionado con los algoritmos de coloración de gráficos codiciosos, ¿verdad? de los cuales hay muchos ... de manera similar a los problemas de SAT donde una de las variables es "forzada" después de un recorrido DPLL ... que creo que también se llama la "columna vertebral" en SAT

— vzn

¿Por qué usas d − 1? Creo que es más natural parametrizar el juego tanto por el gráfico G como por el número k de colores permitidos y considerar la cantidad análoga X (G, k). Por supuesto, si k≥χ (G), entonces Bob gana, y por lo tanto, en este caso, X (G, k) debe definirse como ∞ o n + 1.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: es una elección arbitraria diseñada para maximizar . En la aplicación que tengo en mente, no tiene sentido.

k = d - 1

$k = d-1$

X (G)

$X(G)$

k \geq χ (G)

$k \geq \chi(G)$

— Yuval Filmus

@Tyson: De hecho, es la complejidad del árbol de decisiones del juego en el que, dada una coloración de , queremos encontrar un borde violado.

X (G)

$X(G)$

d - 1

$d-1$

G

$G$

— Yuval Filmus

Se ve bastante similar a

Colorear gráficos aleatorios en línea sin crear subgrafías monocromáticas (Reto Spöhel, Torsten Mütze y Thomas Rast) Actas del 22º Simposio anual ACM-SIAM sobre Algoritmos discretos (SODA '11), PR 137, 145-158.

— adrianN
fuente