Extensionalidad de los modelos de cálculo lambda

Estoy traduciendo un libro sobre LISP y, naturalmente, toca algunos elementos del cálculo . Entonces, una noción de extensionalidad se menciona allí junto con algunos modelos de cálculo , a saber: y (sí, con el infinito en la parte superior). Y se dice que es extensional mientras que no lo es. $\lambda$ $\lambda$ $\mathcal{P}_\omega$ $D^\infty$ $\mathcal{P}_\omega$ $D^\infty$

Pero ... Estaba mirando el cálculo Lambda de Barendregt , su sintaxis y semántica , y (con suerte, correctamente) leí exactamente lo contrario: no es extensional, . $\mathcal{P}_\omega$ $D_\infty$

¿Alguien sabe acerca de ese extraño modelo ? ¿Podría ser el mismo modelo que , pero escrito erróneamente? ¿Estoy en lo cierto acerca de la extensionalidad de los modelos? $D^\infty$ $D_\infty$

Gracias.

— Chris
fuente

¿Te importaría dar contexto al libro LISP? ¿Tiene referencias para los resultados o los modelos a los que se refiere?

— cody

Sí, es LISP de Christian Queinnec en Small Pieces , p. 153. El extracto con la mención: [...] desde entonces, las propiedades se han ampliado de varias maneras diferentes, produciendo varios modelos diferentes:

en [Sco76, Sto77]. [...] Curiosamente,

es extensional porque dos funciones que calculan lo mismo en todos los puntos son iguales, mientras que

no es extensional. [...] Sco76 significa Dana Scotts tipos de datos como enrejados . Sto77 representa la Semántica Denotacional de Joseph Stoys : El Enfoque Scott-Stachey para la Teoría del Lenguaje de Programación .

D^{\infty}

$D^\infty$

P_{ω}

$P_\omega$

P_{ω}

$P_\omega$

D^{\infty}

$D^\infty$

— Chris

¡Gracias! En ese caso, es probable que haya un error tipográfico, que

representa

y que sea

que no sea extensional.

D^{\infty}

$D^\infty$

D_{\infty}

$D_\infty$

P_{ω}

$P_\omega$

— cody

Supongo que por extensionalidad te refieres a la ley Si esto es lo que quiere decir entonces el modelo gráfico esnoextensional, mientras que de Dana Scott es (supongo es el modelo de Dana Scott, del -calculus).

(\forall x . f x = g x) ⟹ f = g .

$(\forall x . f x = g x) \implies f = g.$

P ω

$\mathcal{P}\omega$

D_{\infty}

$D_\infty$

D^{\infty}

$D^\infty$

β ξ η λ

$\beta\xi\eta\lambda$

Para ver esto, recuerde que es una red algebraica con la propiedad de que su espacio de mapas continuos es una retracción adecuada de , es decir, hay mapas continuos y tal que pero $\mathcal{P}\omega$ $[\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega]$ $\mathcal{P}\omega$

Λ : P ω \to [P ω \to P ω]

$\Lambda : \mathcal{P}\omega \to [\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega]$

Γ : [P ω \to P ω] \to P ω

$\Gamma : [\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega] \to \mathcal{P}\omega$

Λ \circ Γ = i d

$\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$

. Dado

, la aplicación

se interpreta como

. Ahora tome

modo que

pero

(estos existen porque

). Entonces para todos

tenemos

Γ \circ Λ \neq i d

$\Gamma \circ \Lambda \neq \mathrm{id}$

u, v \in P ω

$u, v \in \mathcal{P}\omega$

u v

$u v$

Λ (u) (v)

$\Lambda(u)(v)$

u

$u$

u^{'}

$u'$

u \neq u^{'}

$u \neq u'$

Λ (u) = Λ (v)

$\Lambda(u) = \Lambda(v)$

Γ \circ Λ \neq i d

$\Gamma \circ \Lambda \neq \mathrm{id}$

v

$v$

todavía

. La extensión se viola.

u v = u v^{'}

$u v = u v'$

u \neq u^{'}

$u \neq u'$

$[D_\infty \to D_\infty]$ $D_\infty$

Λ : D_{\infty} \to [D_{\infty} \to D_{\infty}]

$\Lambda : D_\infty \to [D_\infty \to D_\infty]$

Γ : [D_{\infty} \to D_{\infty}] \to D_{\infty}

$\Gamma : [D_\infty \to D_\infty] \to D_\infty$

u, u^{'} \in D_{\infty}

$u, u' \in D_\infty$

u v = u^{'} v

$u v = u' v$

v \in D_{\infty}

$v \in D_\infty$

Λ (u) (v) = Λ (u^{'}) (v)

$\Lambda(u)(v) = \Lambda(u')(v)$

v \in D_{\infty}

$v \in D_\infty$

Λ (u) = Λ (u^{'})

$\Lambda(u) = \Lambda(u')$

u = Γ (Λ (u)) = Γ (Λ (u^{'})) = u^{'}

$u = \Gamma(\Lambda(u)) = \Gamma(\Lambda(u')) = u'$

$\Gamma \circ \Lambda = \mathrm{id}$ $\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$ $\lambda$

λ X . u (X) = Γ (v \mapsto u (v))

$\lambda X. u(X) = \Gamma (v \mapsto u(v))$

u (X)

$u(X)$

X

$X$

v

$v$

u (v)

$u(v)$

λ

$\lambda$

λ X . u (X)

$\lambda X . u(X)$

Γ

$\Gamma$

Λ \circ Γ = i d

$\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$

(λ X . u (X)) w = Λ (Γ (v \mapsto u (v))) (w) = (v \mapsto u (v)) (w) = u (w)

$(\lambda X . u(X)) w = \Lambda (\Gamma (v \mapsto u(v))) (w) = (v \mapsto u(v))(w) = u(w)$

β

$\beta$

— Andrej Bauer
fuente

Muchas gracias. Entonces supondré que hay un error de hecho en el libro. Eso puede ser posible, porque el libro en sí es una traducción del francés, y puede haber algunas travesuras de doble negación en ese párrafo del libro original, o algo así. Desafortunadamente, no tengo uno francés que al menos intente verificar.

— Chris

El francés es irrelevante, tienes la prueba frente a tus ojos.

— Andrej Bauer

λ

$\lambda$