Grado aproximado de

EDITAR (v2): se agregó una sección al final sobre lo que sé sobre el problema.

EDITAR (v3): discusión agregada sobre el grado de umbral al final.

Pregunta

Esta pregunta es principalmente una solicitud de referencia. No sé mucho sobre el problema. Quiero saber si ha habido trabajo previo sobre este problema, y ​​si es así, ¿alguien puede señalarme algún documento que hable sobre este problema? También me gustaría conocer los mejores límites actuales en el grado aproximado de . Cualquier otra información también sería apreciada (por ejemplo, información histórica, motivación, relación con otros problemas, etc.).$\textrm{AC}^0$

Definiciones

Deje que sea ​​una función booleana. Sea un polinomio sobre las variables a con coeficientes reales. El grado de un polinomio es el grado máximo sobre todos los monomios. El grado de un monomio es la suma de exponentes de los diversos que aparecen en ese monomio. Por ejemplo .$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$$p$$x_1$$x_n$$x_i$$\textrm{deg}(x_1^7x_3^2) = 9$

Se dice que un polinomio -aproximadamente if para todas las . El grado aproximado de una función booleana , denotado como , es el grado mínimo de un polinomio que -aproxima a . Para un conjunto de funciones, , es el grado mínimo modo que cada función en puede ser aproximada por un polinomio de grado como máximo$p$$\epsilon$$f$$|f(x)-p(x)|<\epsilon$$x$$\epsilon$$f$$\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(f)$f F ~ deg ϵ ( F ) d F ϵ $\epsilon$$f$$F$$\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(F)$$d$$F$$\epsilon$$d$.

Tenga en cuenta que cada función se puede representar sin error por un polinomio de grado . Algunas funciones realmente necesitan un polinomio de grado para aproximarse a cualquier error constante. La paridad es un ejemplo de tal función.$n$$n$

Planteamiento del problema

¿Qué es ? (La constante 1/3 es arbitraria).$\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$

Notas

Encontré este problema en el artículo The Quantum Query Complexity of AC0 de Paul Beame y Widad Machmouchi. Ellos dicen

Además, nuestros resultados no hacen nada para cerrar la brecha en el límite inferior en el grado aproximado de las funciones AC0.

Mencionan "el problema del grado aproximado de AC0" en sus agradecimientos también.

¿Entonces supongo que ha habido algún trabajo sobre este problema antes? ¿Alguien puede señalarme un artículo que habla sobre el problema? ¿Y cuáles son los límites superior e inferior más conocidos?

Lo que sé sobre el problema (esta sección se agregó en la v2 de la pregunta)

El límite superior más conocido en que se conoce es el límite superior trivial . El mejor límite inferior que conozco proviene del límite inferior de Aaronson y Shi para los problemas de colisión y distinción de elementos, lo que da un límite inferior de . (Para versiones severamente restringidas de , como fórmulas con tamaño de fórmula , o circuitos de profundidad-2 con compuertas , podemos probar un límite superior utilizando la complejidad de la consulta cuántica).n ~ Ω (n2/3)AC0o(n2)O(n2)o(n$\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$$n$$\tilde{\Omega}(n^{2/3})$$\textrm{AC}^0$$o(n^2)$$o(n^2)$$o(n)$

Relacionado: grado umbral (agregado en v3)

Como Tsuyoshi señala en los comentarios, este problema está relacionado con el problema de determinar el grado umbral de . El grado de umbral de una función es el grado mínimo de un polinomio tal que y . fpf(x)=$\textrm{AC}^0$$f$$p$f ( x ) = $f(x)=1 \implies p(x)>0$$f(x)=0 \implies p(x)<0$

Sherstov ahora ha mejorado los límites inferiores para el grado umbral de . Exhibe una familia de fórmulas de lectura única de profundidad constante en variables cuyo grado de umbral se aproxima a medida que la profundidad llega al infinito, lo cual es casi estricto ya que las fórmulas de lectura única tienen umbral (e incluso aproximado ) grado . Ver http://eccc.hpi-web.de/report/2014/009/ . (Enero de 2014) nΩ($\mathrm{AC}^0$$n$O($\Omega(\sqrt{n})$$O(\sqrt{n})$

Recientemente se publicó un artículo de Mark Bun y Justin Thaler en ECCC (mediados de marzo de 2017) que responde con precisión a esta pregunta: "Un límite inferior casi óptimo en el grado aproximado de AC0"

Afirman que para cualquier , existe una función en tal que , casi cerrando la brecha con el límite superior trivial . Lo logran con un método general para aumentar el grado aproximado de una función con un grado aproximado sublineal, manteniendo el número de variables cuasi-lineales. Del resumen:f A C 0 ~ d e g 1 / 3 ( f ) = Ω ( n 1 - δ ) O ( n $\delta > 0$$f$$\mathrm{AC}^0$$\widetilde{\mathrm{deg}}_{1/3}(f) = \Omega(n^{1-\delta})$$O(n)$

Específicamente, mostramos cómo transformar cualquier función booleana con un grado aproximado en una función en las variables con un grado aproximado al menos . En particular, si , entonces es polinomialmente más grande que . Por otra parte, si se calcula por una de tamaño polinomio circuito booleano de profundidad constante, entonces también lo es .d F O ( n ⋅ p o l y l o g ( n ) ) D = Ω ( n 1 / 3 · d 2 / 3 ) d = n 1 - Ω ( 1 ) D d f $f$$d$$F$$O(n \cdot \mathrm{polylog}(n))$$D = Ω(n^{1/3} · d^{2/3} )$$d = n^{1−Ω(1)}$$D$$d$$f$$F$

Esa es la actualización más reciente en el límite inferior de este problema, y ​​es un avance bastante significativo. Las secciones de Introducción y Aplicación del documento también son buenas fuentes de referencias para trabajos anteriores y problemas relacionados.

Descargo de responsabilidad: no he leído el periódico con cuidado todavía.