Distinguir entre


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Dado un estado cuántico elegido uniformemente al azar de un conjunto de N estados mixtos ρ 1 . . . ρ N , ¿cuál es la probabilidad promedio máxima de identificar correctamente A ?ρANρ1...ρNA

Este problema puede convertirse en un problema de distinguibilidad de dos estados al considerar el problema de distinguir de ρ B = 1ρA.ρB=1N1iAρi

Sé que para dos estados cuánticos el problema tiene una buena solución en términos de la distancia de rastreo entre los estados cuando minimiza la probabilidad máxima de error en lugar de minimizar la probabilidad promedio de error, y esperaba que pudiera haber algo similar para este caso. Por supuesto, es posible escribir la probabilidad en términos de una optimización sobre POVM, pero espero algo donde la optimización ya se haya realizado.

Sé que hay una gran cantidad de literatura sobre la distinción de los estados cuánticos, y he estado leyendo muchos artículos en los últimos días tratando de encontrar la respuesta a esta pregunta, pero tengo problemas para encontrar la respuesta a esta. variación particular del problema. Espero que alguien que sepa mejor de literatura pueda ahorrarme algo de tiempo.

Estrictamente hablando, no necesito la probabilidad exacta, un buen límite superior lo haría. Sin embargo, la diferencia entre cualquier estado y el estado de mezcla máxima es bastante pequeña, por lo que el límite debería ser útil en ese límite.


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Debido a que la probabilidad de respuesta correcta es el valor máximo de un programa semidefinido, a menudo es útil considerar el dual para obtener un límite superior.
Tsuyoshi Ito

@ TsuyoshiIto: De hecho, pero estaba adivinando que este problema ha sido bien estudiado y que podría haber un resultado fijo.
Joe Fitzsimons

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¿Sabes si las preguntas análogas para las distribuciones de probabilidad clásicas tienen una buena respuesta? El resultado de "distancia de rastreo" que menciona es una generalización del uso de la "distancia estadística" (también conocida como "distancia de variación total") para las distribuciones clásicas. [En el caso clásico, la estrategia natural es elegir la distribución con mayor probabilidad de haber generado un resultado particular. Puede escribir una forma cerrada para su probabilidad de éxito, aunque no sé si se puede expresar en términos de una cantidad simple (como la distancia promedio entre las distribuciones).]
Adam Smith

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@ AdamSmith: Parece que clásicamente puedes ponderar cada distribución según su probabilidad de que ocurra y luego elegir la que tenga más probabilidades de dar el resultado que observas.
Joe Fitzsimons

Respuestas:


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Como usted menciona, es posible determinar numéricamente la probabilidad de éxito promedio óptima, que se puede hacer de manera eficiente a través de la programación semidefinida (ver, por ejemplo, este documento de Eldar, Megretski y Verghese o estas notas de John Watrous), pero no se utiliza una expresión cerrada. conocido.

1N2i>jF(ρi,ρj)2Ni>jF(ρi,ρj)1/2

12(11N(N1)i>jtr|ρiρj|)N=2


Impresionante, gracias Ashley. El límite inferior en la probabilidad de error en términos de distancia de rastreo es casi exactamente lo que estaba buscando. En realidad, mi plan de respaldo si no hubiera logrado obtener una buena respuesta aquí sería enviarle un correo electrónico, ya que sé que ha trabajado en estas cosas.
Joe Fitzsimons

¿Hay algún límite que funcione bien en el límite de la probabilidad de error de estar cerca de 1? La distancia de rastreo parece ser máxima en 1/2. Estoy probando la fidelidad en este momento, pero no creo que realmente pueda calcular la fidelidad en el problema en el que estoy trabajando, y los límites que da parecen muy sensibles a los errores aditivos.
Joe Fitzsimons

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