Existencia de "matrices para colorear"

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Definiciones

Sean y enteros. Usamos la notación . $c$ $k$ $[i] = \{1,2,...,i\}$

Se dice que una matriz es una matriz de color to- si se cumple lo siguiente: $c \times c$ $M = (m_{i,j})$ $c$ $k$

tenemos para todo , $m_{i,j} \in [k]$ $i, j \in [c]$
para todo con y tenemos . $i,j,\ell \in [c]$ $i \ne j$ $j \ne \ell$ $m_{i,j} \ne m_{j,\ell}$

Escribimos si existe una matriz de colores -to- . $c \leadsto k$ $c$ $k$

Tenga en cuenta que los elementos diagonales son irrelevantes; Estamos interesados sólo en los elementos no diagonales de $M$ .

La siguiente perspectiva alternativa puede ser útil. Sea $R(M,\ell) = \{ m_{\ell,i} : i \ne \ell \}$ sea el conjunto de elementos no diagonales en la fila $\ell$ , y de manera similar sea $C(M,\ell) = \{ m_{i,\ell} : i \ne \ell \}$ será el conjunto de elementos no diagonales en la columna $\ell$ . Ahora $M$ es una matriz de colores $c$ to- $k$ iff

R (M, ℓ) \subseteq [k], C (M, ℓ) \subseteq [k], R (M, ℓ) \cap C (M, ℓ) = \emptyset

$R(M,\ell) \subseteq [k], \quad C(M,\ell) \subseteq [k], \quad R(M,\ell) \cap C(M,\ell) = \emptyset$ para todos

ℓ \in [c]

$\ell \in [c]$ . Es decir, fila

ℓ

$\ell$ y columna

ℓ

$\ell$ deben constar de elementos distintos (excepto, por supuesto, en la diagonal).

Puede o no ser útil intentar interpretar como un tipo especial de función hash de a . $M$ $[c]^2$ $[k]$

Ejemplos

Este es un -a-- matriz para colorear: $6$ $4$

[\begin{matrix} - & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & - & 3 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 4 & - & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 & - & 3 & 2 \\ 4 & 2 & 2 & 4 & - & 2 \\ 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & - \end{matrix}] .

$\begin{bmatrix} -&2&2&1&1&1\\ 3&-&3&1&1&1\\ 4&4&-&1&1&1\\ 3&2&2&-&3&2\\ 4&2&2&4&-&2\\ 3&4&3&4&3&- \end{bmatrix}.$

En general, se sabe que para cualquier tenemosPor ejemplo, y . Para ver esto, podemos usar la siguiente construcción (por ejemplo, Naor y Stockmeyer 1995). $n \ge 2$

(\binom{2 n}{n}) ⇝ 2 n .

${2n \choose n} \leadsto 2n.$

20 ⇝ 6

$20 \leadsto 6$

6 ⇝ 4

$6 \leadsto 4$

Sea y sea . Sea una biyección de al conjunto de todos los subconjuntos de , es decir, y para todo . Para cada con , elija arbitrariamente $c = {2n \choose n}$ $k = 2n$ $f$ $[c]$ $n$ $[2n]$ $f(i) \subseteq [2n]$ $|f(i)| = n$ $i$ $i,j \in [c]$ $i \ne j$

m_{i, j} \in f (i) ∖ f (j) .

$m_{i,j} \in f(i) \setminus f(j).$

Tenga en cuenta que . Es sencillo verificar que la construcción sea de hecho una matriz de colores; en particular, tenemos y . $f(j) \setminus f(i) \ne \emptyset$ $R(M,\ell) = f(\ell)$ $C(M,\ell) = [k] \setminus f(\ell)$

Pregunta

¿La construcción anterior es óptima? Dicho de otro modo, ¿tenemos para cualquier ?

(\binom{2 n}{n}) + 1 ⇝ 2 n

${2n \choose n} + 1 \leadsto 2n$

n \geq 2

$n \ge 2$

Es bien sabido que la construcción anterior es asintóticamente apretada; necesariamente . Esto se sigue, por ejemplo, del resultado de Linial (1992) o de una aplicación directa de la teoría de Ramsey. Pero para mí no está claro si la construcción también está ajustada a las constantes. Algunos experimentos numéricos sugieren que la construcción anterior podría ser óptima. $k = \Omega(\log c)$

Motivación

La pregunta está relacionada con la existencia de algoritmos distribuidos rápidamente para colorear gráficos. Por ejemplo, suponga que se nos da un árbol dirigido (todos los bordes orientados hacia un nodo raíz), y supongamos que se nos da un color adecuado del árbol. Ahora hay un algoritmo distribuido que calcula una coloración adecuada del árbol en ronda de comunicación síncrona si y solo si . $c$ $k$ $1$ $c \leadsto k$

co.combinatorics lower-bounds dc.distributed-comp

— Jukka Suomela
fuente

En la pantalla de matemáticas en la "perspectiva alternativa", [c] debería leer [k]. En la línea que sigue, "para todos los l \ in [k]" debería leer "para todos los l \ in [c]".

— Tsuyoshi Ito

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La construcción es óptima en el sentido de que no puede sostenerse. De hecho, es fácil ver que la matriz de color c- to- k existe si y solo si hay c subconjuntos A ₁ , ..., A _c del conjunto {1, ..., k } de modo que ningún i y j distinto satisfagan A _i ⊆ A _j . (Para la dirección "solo si", tome A _i = R ( M , i ) para una matriz de color c- to- k $\binom{2n}{n}+1 \leadsto n$ M . Para la dirección "si", establezca m _ij ∈ A _i ∖ A _j .) Una familia de conjuntos ninguno de los cuales contiene otro se llama familia Sperner , y es el teorema de Sperner que el número máximo de conjuntos en una familia Sperner en el el universo de tamaño k es . Esto implica que . $\binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$ $c \leadsto k \iff c \le \binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$

— Tsuyoshi Ito
fuente

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Ah, claro, pensé que parecía que las filas tendrían que formar una familia Sperner, pero no vi cómo demostrarlo. Pero tiene toda la razón: si tenemos , entonces , y por lo tanto . Eso fue fácil, muchas gracias!

R (M, i) \subseteq R (M, j)

$R(M,i) \subseteq R(M,j)$

m_{i, j} \in R (M, i) \subseteq R (M, j)

$m_{i,j} \in R(M,i) \subseteq R(M,j)$

C (M, j) \cap R (M, j) \neq \emptyset

$C(M,j) \cap R(M,j) \ne \emptyset$

— Jukka Suomela

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Para un asintótico ligeramente más apretado, se podría demostrar que:

si , entonces $c \leadsto k$ $c \leq 2^k$

Supongamos que hay una coloración de una matriz usando colores. Ahora, colorea cada fila de la matriz por el conjunto de colores presentes que contiene. Eso da una coloración de las filas usando subconjuntos de . Las diferentes filas deben tener diferentes colores. De lo contrario, suponga que para , la fila tiene el mismo color que la fila . Eso significa que el color de está presente tanto en la fila como en la columna que contradice el hecho de que comenzamos con una coloración. Se deduce que $c \times c$ $k$ $[k]$ $i \lt j$ $i$ $j$ $(i,j)$ $j$ $j$ $c \leq 2^k$

— hbm
fuente

No estoy seguro de lo que está afirmando que su análisis es más estricto, pero vea mi respuesta para conocer el límite exacto.

— Tsuyoshi Ito