Plano proyectivo de orden 12

Objetivo : resolver la conjetura de que no existe un plano proyectivo de orden 12.

En 1989, utilizando la búsqueda por computadora en un Cray, Lam demostró que no existe un plano proyectivo de orden 10. Ahora que el Número de Dios para el Cubo de Rubik se ha determinado después de solo unas pocas semanas de búsqueda masiva de fuerza bruta (más matemática inteligente de simetría), me parece que este problema abierto de larga data podría estar al alcance. (Además, tal vez podríamos usar tales técnicas para resolver algo matemáticamente fundamental). Espero que esta pregunta pueda servir como un control de cordura.

El Cubo se resolvió reduciendo el tamaño total del problema a "solo" 2,217,093,120 pruebas distintas, que podrían ejecutarse en paralelo.

Preguntas:

Se han mostrado varios casos especiales de inexistencia. ¿Alguien sabe, si los eliminamos y buscamos exhaustivamente el resto, si el tamaño del problema está en el orden de la búsqueda de Cubos? (Tal vez hay mucho que esperar para que alguien sepa esto ...)
¿Alguna información parcial en este sentido?

Editado para agregar: hice esta pregunta en MathOverflow aquí . Hasta ahora parece que no se logra una reducción del espacio de búsqueda a partir de los resultados parciales conocidos. Todavía no sé el tamaño del espacio de búsqueda total.

open-problem

— Aaron Sterling
fuente

¿Conoces alguna buena referencia para los casos especiales de inexistencia que mencionaste? O tal vez, ¿solo una referencia general / conjunto de referencias para el caso de la orden 12?

— Daniel Apon

Esto se ve más adecuado para MathOverflow. ¿Existe una fuerte conexión con la informática teórica? (Por otro lado: ¿Qué tan difícil es decidir, dado un número entero n, si existe un plano proyectivo de orden n? ¿Tiempo polinómico? ¿NP-duro? ¿Peor?)

— Jeffε

@ Jeff, gracias, me preguntaba si debería preguntarlo allí. Creo que podría ser una aplicación de TCS a la combinatoria, pero no lo veo como un resultado "importante", solo una fruta que cuelga ahora que puede ser baja debido a las velocidades del procesador y la nube. No sé la respuesta a su problema de decisión. Entonces ... esperaré unos días, luego publicaré en MO, enlazando aquí.

— Aaron Sterling

Me gusta la reformulación de Jeff. Quizás valga la pena publicarlo como otra pregunta :)

— Suresh Venkat

Veo la aplicación potencial de la informática a la combinatoria, simplemente no a la informática teórica , que es (según mis propios prejuicios) sobre el comportamiento limitante de la computación a medida que el tamaño de entrada crece hasta el infinito. Encontrar el número de Dios fue un logro técnico impresionante, pero no está claro que requiriera una visión algorítmica o que tenga algún impacto algorítmico. (Me encantaría que me corrijan en este punto.)

— Jeffε

Respuestas:

(Más un comentario que una respuesta :)

Existen planos proyectivos finitos para valores de n que son potencias de un primo, y hay infinitos valores de n que se descartan por un teorema de RH Bruck y H. Ryser, que Chowla generalizó para bloquear diseños:

http://en.wikipedia.org/wiki/Bruck%E2%80%93Chowla%E2%80%93Ryser_theorem

n = 10, como se dijo, se resolvió (no existe un plano) mediante una búsqueda por computadora, por lo que el primer valor de n no descartado por Bruck-Ryser es n = 12. Sin embargo, el trabajo en la computadora no pareció proporcionar nuevas ideas. a si solo hay o no los primeros planos de poder. Lo que parece ser necesario son nuevos métodos matemáticos para comprender la conjetura comúnmente hecha de que solo existen los planos de poder primarios.

— Joseph Malkevitch
fuente

Hay una conjetura que dice que, si sigma (n)> 2n, entonces no hay un plano proyectivo finito (FPP) de orden n, ni un conjunto completo de cuadrado latino mutuamente ortogonal (CMOLS) que le corresponda. Donde sigma (n) denota la suma de los divisores positivos de n, incluido el propio n. De hecho, cuando sigma (n)> 2n significa que n es un número abundante. y 12 es el número abundante más pequeño que existe. El siguiente es todos los números abundantes para 1> n> 500: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 176, 180, 186, 190, 196, 198, 200, 204, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264, 270, 272, 276, 280, 282, 294, 300, 304, 306, 308, 312, 318, 320, 324, 330, 336, 340, 342, 348, 350, 352, 354, 360, 364,

de On Projective Planes of Order 12 por Muatazz Abdolhadi Bashir y Andrew Rajah

— Bashir
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