Aprendiendo triángulos en el plano

Asigné a mis alumnos el problema de encontrar un triángulo consistente con una colección de puntos en , etiquetado con . (Un triángulo es consistente con la muestra etiquetada si contiene todos los puntos positivos y ninguno de los negativos; por supuesto, la muestra admite al menos 1 triángulo consistente).$m$$\mathbb{R}^2$$\pm1$$T$$T$

Lo mejor que podrían hacer (o yo) es un algoritmo que se ejecuta en el tiempo , donde es el tamaño de la muestra. ¿Alguien puede hacerlo mejor?$O(m^6)$$m$

Como sugiere @TsuyoshiIto, existe un algoritmo de tiempo para este problema, debido a Edelsbrunner y Preparata. De hecho, su algoritmo encuentra un polígono convexo con el mínimo número posible de aristas que separa los dos conjuntos de puntos. También prueban un límite inferior de Ω ( n log n ) para el problema más general en el modelo de árbol de decisión algebraico; Sin embargo, no está claro si este límite inferior se aplica a la caja del triángulo.$O(n\log n)$$\Omega(n\log n)$

Una descripción completa del algoritmo es demasiado larga para publicar aquí, pero esta es la idea básica. Sea el casco convexo de los puntos positivos. Para cada punto negativo q , considere las líneas a través de q que son tangentes a C . Estas líneas dividen el plano en cuatro cuñas, una de las cuales contiene C ; dejó W ( q ) sea la cuña opuesta el uno que contiene C . Finalmente, sea F (la "región prohibida") la unión de todas las cuñas W ( q ) . Cualquier triángulo de separación debe separar C de $C$$q$$q$$C$$C$$W(q)$$C$$F$$W(q)$$C$$F$. Tanto como F se pueden construir en tiempo O ( n log n ) .$C$$F$$O(n\log n)$

Etiquete los bordes de alternativamente en sentido horario y antihorario. Edelsbrunner y Preparata demuestran además que si existe un triángulo de separación, entonces hay un triángulo que separa cuyos bordes son colineales con los bordes en sentido horario del F . En O ( n ) tiempo adicional, podemos encontrar el borde (necesariamente en el sentido de las manecillas del reloj) de F golpeado por un rayo desde cada borde en el sentido de las manecillas del reloj e ; llama a esta ventaja el "sucesor" de e . Los punteros sucesores dividen los bordes en sentido horario en ciclos; Si hay un triángulo separador, uno de estos ciclos sucesores tiene una longitud de 3 (y ninguno tiene una longitud de más de 4).$F$$F$$O(n)$$F$$e$$e$

Vea el documento original para más detalles:

• Herbert Edelsbrunner y Franco P. Preparata. Mínima separación poligonal . Información y cálculo 77 (3): 218–232, 1988.

Me parece que es suficiente considerar las líneas tangentes de los puntos '-1' en el casco convexo de los puntos '+1' como candidatos para los lados de (digamos que los puntos '+1' serán internos a T ).$T$$T$

Lástima, no puedo publicar imágenes aquí. Pero imagine esto: es la línea tangente al casco convexo que pasa por algún punto '-1'. A es el punto de tangencia. B es el punto extremo (ver más abajo) en t , y B C es la línea tangente desde el punto B ( C es el punto de tangencia).$t$$A$$B$$t$$BC$$B$$C$

Entonces, el algoritmo es el siguiente. Para cada línea de las líneas de tangentes podemos intentar construir un triángulo basado en él:$t$

1. Calcule los puntos de intersección de con todas las otras líneas;$t$
2. Encuentre un extremo B (más alejado de ), el punto B y la línea correspondiente t ' a la derecha (o izquierda) de A , de modo que el ángulo del psuedotriangle A B C (= A B , B C y la parte del casco convexo entre A y C ) no contiene puntos '-1' (es decir, no contiene ningún punto).$A$$B$$t'$$A$$ABC$$AB$$BC$$A$$C$
3. Haga lo mismo con la línea y vea si podemos' cerrar 'el triángulo.$t'$

Parece que esto sería un tiempo de ejecución de . ¿Quizás esto pueda mejorarse usando algunas estructuras de datos?$O(m^2)$