¿La programación 0-1 con un número constante de restricciones tiene solución polinómica?

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Se mostró en el documento "Programación de enteros con un número fijo de variables" que las programaciones de enteros con un número constante de restricciones (o variables) son polinomialmente solucionables.

¿Esto es válido para la programación 0-1?

cc.complexity-theory integer-programming

— Regularidad
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¿No es la programación 0-1 un caso especial de programación entera?

— Nathann Cohen

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Supongo que la parte no trivial es esta: si tiene un algoritmo de caja negra A que puede resolver programas enteros con un número constante de restricciones (pero arbitrariamente muchas variables), no es obvio cómo usar A para resolver programas 0-1 con un número constante de restricciones No puede simplemente agregar restricciones de la forma para cada variable .

0 \leq x_{i} \leq 1

$0 \le x_i \le 1$

x_{i}

$x_i$

— Jukka Suomela

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¿Qué es "un programa 0-1 con un número constante de restricciones"? ¿Las restricciones no cuentan?

0 \leq x_{i} \leq 1

$0\le x_i \le 1$

— Jeffε

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Supongo que por "programación 0-1 con un número constante de restricciones" te refieres al siguiente problema:

Maximice alguna función lineal de (x_1, x_2, ..., x_n) sujeta a las restricciones de que cada x_i está en {0,1} y un número constante de restricciones lineales adicionales.

Este problema es NP-completo incluso con 1 restricción adicional ya que se puede escribir 0-1 mochila en este formulario.

— Robin Kothari
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Además, la "mochila sin límites", donde tiene solo los límites de no negatividad y las restricciones de integralidad sin los límites superiores de 1, sigue siendo NP-hard.

— daveagp

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Lenstra mostró en el documento mencionado que el problema de viabilidad del programa lineal entero

Dada la matriz integral y . ¿Hay una tal que ? $A_{m,n}$ $b \in \mathbb{Z}^m$
$x \in \mathbb{Z}^n$ $Ax \le b$

es polinomialmente solucionable, si nom es constante. (Obsérvese la ausencia de una función de objetivo). Este resultado se usa comúnmente en el análisis de problemas parametrizados, es decir, se puede usar para demostrar la trazabilidad de parámetros fijos mediante una reducción.

— muede
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No estoy seguro de por qué publicó esto, pero si está dando a entender que la diferencia entre la versión de factibilidad y la versión de optimización es importante, entonces no, no es importante: un algoritmo de tiempo polinómico para la versión de factibilidad se puede utilizar para resolver la versión de optimización también en tiempo polinómico combinándola con búsqueda binaria.

— Tsuyoshi Ito

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La programación de enteros 0-1 o la programación de enteros binarios (BIP) es el caso especial de la programación de enteros donde las variables deben ser 0 o 1 (en lugar de enteros arbitrarios). Este problema también se clasifica como NP-hard, y de hecho la versión de decisión es NP-Complete.

— Karan Sapra
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Si bien tanto IP como BIP son NP-hard, esto no dice mucho acerca de si IP y BIP con un número constante de restricciones es NP-hard. De hecho, IP con un número constante de restricciones está en P, mientras que BIP con un número constante de restricciones sigue siendo NP-hard.

— Robin Kothari

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Además de lo que dijo Robin, si entendí la pregunta correctamente, si tenemos un número constante de variables que solo pueden tomar los valores 0 o 1, un algoritmo de fuerza bruta que prueba todas las posibilidades de para las variables y comprueba si cada posibilidad obedece a las restricciones que sería un algoritmo de tiempo polinómico. $k$ $2^k$

— usuario8477
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