Estoy buscando un teorema que diga algo como esto: si el tiempo de cobertura de una cadena de Markov reversible es pequeño, entonces la brecha espectral es grande. Aquí la brecha espectral significa, es decir, ignoramos el valor propio más pequeño de la cadena.
El único resultado que pude encontrar en esta dirección es de Bounds on the Cover Time , Broder y Karlin, FOCS 88. Allí se supone que la matriz de transición de la cadena es doblemente estocástica (pero no necesariamente reversible) y aperiódica; en términos generales, el documento muestra que, bajo estos supuestos, si el tiempo de cobertura es , entonces es al menos n ^ {- 1} .
Intuitivamente, parece muy plausible que si puedes cubrir todos los vértices de un gráfico rápidamente, el tiempo de mezcla debería ser pequeño. En particular, si puede cubrir todos los vértices de un gráfico en tiempo, seguramente debería ser capaz de descartar una brecha espectral de, digamos, .
Un posible obstáculo que rompería la implicación entre un tiempo de cobertura pequeño y un gran espacio espectral es la bipartita: en un gráfico bipartito, puede tener un tiempo de cobertura pequeño con un valor propio de . En mi pregunta, estoy evitando este problema al ignorar el valor propio más pequeño.