Autómatas Büchi con estrategia de aceptación

El problema

Deje que $A=\langle \Sigma, Q, q_0,F,\Delta\rangle$ ser un autómata Büchi, reconociendo un lenguaje $L\subseteq\Sigma^\omega$ . Suponemos que $A$ tiene una estrategia de aceptación en el siguiente sentido: hay una función $\sigma:\Sigma^*\to Q$ que puede ser utilizado para pruebas piloto de $A$ . Lo formalizamos mediante las siguientes condiciones:

$\sigma(\epsilon)=q_0$
para todo y , $u\in\Sigma^*$ $a\in\Sigma$ $(\sigma(u),a,\sigma(ua))\in\Delta$
para todo , la carrera pilotada por está aceptando, es decir, la secuencia tiene un número infinito de elementos de . $w=a_0a_1a_2\dots\in L$ $\sigma$ $\sigma(\epsilon),\sigma(a_0),\sigma(a_0a_1),\sigma(a_0a_1a_2),\dots$ $F$

Para subsumir las condiciones, puede aceptar cualquier palabra de su idioma sin tener que adivinar nada sobre el futuro. $A$

Entonces, bajo estos supuestos sobre , ¿es cierto que puede determinarse simplemente eliminando las transiciones? En otras palabras, ¿podemos elegir siempre la próxima transición dependiendo solo del estado actual y la letra? ¿Hay alguna referencia sobre el tema? La misma pregunta se puede hacer en los autómatas de Büchi y, en general, en los autómatas de paridad. $A$ $A$

Lo que se sabe

Aquí hay algunos resultados parciales.

Primero, podemos restringir a elecciones no determinantes entre estados que tienen el mismo residuo. De hecho, si es el lenguaje aceptado de , una estrategia de aceptación no puede elegir sobre en algún momento, si hay . $\sigma$ $L(q)$ $q$ $q_1$ $q_2$ $w\in L(q_2)\setminus L(q_1)$

Tenga en cuenta que las opciones restantes son importantes, por lo que a pesar de la intuición, esto no es suficiente para deshacerse del no determinismo. Esto se debe a que es posible permanecer hasta el infinito en un buen residuo (es decir, el resto de la palabra está en el residual), pero rechazar la palabra porque no se ven infinitos estados Büchi. Esta es la principal dificultad del problema: una carrera infinita puede estar mal, sin cometer ningún error fatal en algún momento.

En segundo lugar, el problema se resuelve si , es decir, todas las palabras son aceptadas por . En este caso, podemos ver como un juego de Büchi donde el jugador I elige las letras de entrada y el jugador II elige las transiciones. Entonces podemos usar la determinación posicional de los juegos de Büchi para extraer una estrategia posicional para el Jugador II. Este argumento incluso funciona en el caso más general de autómatas de paridad. La dificultad de este problema proviene del hecho de que algunas palabras no están en , y en este caso la estrategia puede tener algún comportamiento. $L=\Sigma^\omega$ $A$ $A$ $L$ $\sigma$

En tercer lugar, aquí es una prueba de que bajo los supuestos, el lenguaje se encuentra en la clase de idiomas Büchi deterministas, en presencia de un autómata con los estados . Tenga en cuenta que esto implica que $L$ $2^Q$ $L$ no puede ser cualquier lenguaje -regular, por ejemplo, si , no puede existir una estrategia coincida con las condiciones. $\omega$ $L=(a+b)^*a^\omega$ $\sigma$

Comenzamos restringiendo las transiciones de acuerdo con el primer comentario: las únicas elecciones que podemos hacer no tienen impacto en el lenguaje residual. Solo tomamos sucesores con el máximo residual, deben existir porque existe. $\sigma$

Después se construye de la siguiente manera. es el subconjunto de autómatas de , pero cada vez que aparece un estado de Büchi en el componente, todos los demás estados pueden eliminarse del componente, y comenzamos de nuevo desde el singleton . Entonces podemos establecer $A'=\langle \Sigma, 2^Q, \{ q_0\},F',\Delta'\rangle$ $A'$ $A$ $q$ $\{ q\}$ $F'=\{\{ q\} : q\in F\}$ . Podemos verificar que es un autómata determinista para Büchi . $A'$ $L$

Finalmente, al reunir el segundo y el tercer comentario, siempre podemos obtener una estrategia de memoria finita , al usar una estrategia posicional para el Jugador II en el juego donde el Jugador I elige letras, el Jugador II elige las transiciones en y gana si acepta cada vez que acepta. $\sigma$ $A\times A'$ $A$ $A$ $A'$

— Denis
fuente

Escriba

para el autómata (determinista) con las transiciones eliminadas. Deje que

ser una palabra en

. Entonces, según sus condiciones,

es una carrera de

y está aceptando, por lo tanto,

. Por el contrario, cualquier ejecución de aceptación de

es en particular una ejecución de aceptación de

, por lo tanto,

A_{σ}

$A_\sigma$

w = w_{0} w_{1} \dots

$w=w_0w_1\cdots$

L

$L$

σ (w_{0}) σ (w_{0} w_{1}) \dots

$\sigma(w_0)\sigma(w_0w_1)\cdots$

A_{σ}

$A_\sigma$

L \subseteq L (A_{σ})

$L\subseteq L(A_\sigma)$

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

L (A_{σ}) \subseteq L

$L(A_\sigma)\subseteq L$

— Sylvain

@Sylvain: ¿Qué transiciones se eliminan?

— Dave Clarke

Supongo que llama a

el autómata

restringido a las transiciones utilizadas en la estrategia

. El problema es que no tienes ninguna garantía de que

sea determinista. Por ejemplo, suponga que

, entonces

no es determinista.

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

σ

$\sigma$

A_{σ}

$A_\sigma$

σ (a) = σ (ϵ) = q_{0}

$\sigma(a)=\sigma(\epsilon)=q_0$

σ (a a) = q_{1}

$\sigma(aa)=q_1$

A_{σ}

$A_\sigma$

— Denis

También lo estoy publicando en mathOverflow, con más detalles sobre el trabajo anterior aquí: mathoverflow.net/questions/97007/… , ¿está bien?

— Denis

En general, no se permite la publicación cruzada, a menos que no se haya recibido una respuesta después de un tiempo suficiente. Dado que hay una recompensa abierta por esta pregunta, esperaría unos días. Puede eliminar la otra publicación y abrirla en unos días. (Además, la otra publicación debe vincular a esta.)

— Dave Clarke

Resulta que la respuesta es no, se pueden encontrar algunos contraejemplos en este documento .

— Denis
fuente

Gracias por la actualización, pero vago! ¿Qué equipo? publicaron? ¿planear? ¿cómo escuchaste? ¿Cómo lo encontraron? ¿hay alguna razón por la que lo estaban buscando? ¿Es esto una curiosidad teórica o está relacionado con algún problema o aplicación más grande? etc

— vzn

vea esta respuesta para más detalles: cstheory.stackexchange.com/a/24918/8953

— Denis

-1

Como señaló, los autómatas de Buchi no deterministas y deterministas aceptan diferentes idiomas. La 'determinación' más famosa para un autómata de Buchi la da Safra (busque "Construcción de Safra" en la web. Aquí hay un documento que aparece: www.cs.cornell.edu/courses/cs686/2003sp/Handouts/safra.pdf) . El procedimiento es bastante complejo e implica la transformación de un autómata Buchi dado en un autómata determinista Rabin (que tiene estados F 'aceptados' y estados G 'rechazados': \ sigma solo tiene muchos estados finitos en G). La construcción de Safra implica mucho más que simplemente eliminar las transiciones y / o la construcción habitual de subconjuntos.

— Sudeep
fuente

σ

$\sigma$