Complejidad de decidir si una matriz es totalmente regular

Una matriz se llama totalmente regular si todas sus submatrices cuadradas tienen rango completo. Tales matrices se usaron para construir superconcentradores. ¿Cuál es la complejidad de decidir si una matriz dada es totalmente regular sobre los racionales? Sobre campos finitos?

Más en general, llame a una matriz totalmente regular si todas sus submatrices cuadradas de tamaño como máximo tienen rango completo. Dada una matriz y un parámetro , ¿cuál es la complejidad de decidir si la matriz es totalmente regular? $k$ $k$ $k$ $k$

— Markus Bläser
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Una pregunta elemental: ¿qué quieres decir cuando dices matriz regular? ¡Gracias!

— Henry Yuen

¿Quieres decir que cada submatriz no es singular? Recuerdo que había una pregunta similar que no puedo encontrar en este momento

— Sasho Nikolov

De hecho, hay tres significados diferentes de regular: en.wikipedia.org/wiki/Regular_matrix

— Suresh Venkat

ah, encontré la pregunta relacionada: cstheory.stackexchange.com/questions/10962/… . su pregunta se ajusta más al comentario que hice allí: esta es una variante más fácil de la cuestión (abierta de par en par) de probar la parte de isometría restringida.

— Sasho Nikolov

Sobre campos finitos, probar si una matriz

-regular es equivalente a verificar si una matriz generadora de códigos

tiene una distancia mínima

(es decir, si es MDS). Incluso las aproximaciones de factores constantes para encontrar la distancia mínima de código son difíciles. Consulte este documento ee.ucr.edu/~dumer/ieee49-1-03-np.pdf y las referencias en el interior.

n \times k

$n\times k$

k

$k$

n \times k

$n\times k$

n - k + 1

$n-k+1$

— Dimitris

Respuestas:

El documento Vandermonde Matrices, NP-Completeness y Transversal Subspaces [ps] de Alexander Chistov, Hervé Fournier, Leonid Gurvits y Pascal Koiran puede ser relevante para su pregunta (aunque no la responde).

Demuestran la completitud del siguiente problema: Dada una matriz sobre ( ), decida si existe una submatriz cuyo determinante desaparece. $\mathsf{NP}$ $n\times m$ $\mathbb Z$ $n\le m$ $n\times n$

— Bruno
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Gracias Bruno! ¿No podemos reducir el problema de su respuesta a mi problema mediante una reducción aleatoria (sobre los racionales)? Simplemente agregue

filas al azar. Si la nueva matriz no es totalmente regular, entonces contiene una submatriz de

singular en las primeras

filas con alta probabilidad. Ah no. La submatriz podría ser más pequeña. Pero tal vez uno pueda hacer que esto funcione ...

m - n

$m-n$

n \times n

$n \times n$

n

$n$

— Markus Bläser

Sí, el problema es esencialmente equivalente a la (Posición General) en el Alexander Chistov, Hervé Fournier, Leonid Gurvits y Pascal Koiran papel .

Considere una matriz , . Sin pérdida de generalidad, suponga que el las primeras columnas de son independientes: , donde es una matriz no singular . Ahora, contiene una submatriz singular si y solo si $n \times m$ $A$ $n < m$ $\text{rank}(A) = n$ $n$ $A$ $A =[B\ |\ D]$ $B$ $n \times n$ $A$ $n \times n$ $B^{-1}D$ No es totalmente regular.

— gurvits leonidos
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Hay otro problema NP-Complete en el mismo espíritu: para una matriz cuadrada decidir si todas sus submatrices principales (es decir, filas y columnas del mismo conjunto) son no singulares. Otro hecho curioso: la suma de cuadrados de determinantes de todas las submatrices cuadradas es fácil (solo Det (I + AA ^ {T})), pero la suma de valores absolutos es # P-Complete.

— gurvits leonidos
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