Complejidad Parametrizada del Conteo de Bicliques

En una pregunta anterior Algoritmo parametrizado para encontrar bicliques , pregunté si había algoritmos parametrizados rápidos para encontrar un -biclique en un gráfico de n vértices y aprendí que estaba abierto si es FPT wrt k . ¿Es lo mismo para contar las k × k -bicliques, o se sabe que esto es # W \ [ 1 \] -hard wrt k (o alguna otra noción de dureza)?$k\times k$$n$$k$$k\times k$$W\[1\]$$k$

Sé que contar las bicliques inducidas son # W \ [ 1 \] -duro, expandiendo una reducción simple para encontrar un biclique inducido en la sección 4.5 en la tesis de Serge Gaspers .$k\times k$$W\[1\]$

Esto debería ser #W [1] -duro por un argumento de interpolación estándar. Aquí hay un bosquejo aproximado.

Primero, considere la versión multicolor del problema biclique: dado un gráfico cuyo conjunto de vértices se divide en clases , encuentre un biclique que contenga exactamente un vértice de cada conjunto. A diferencia de Biclique, cuyo estado de FPT está abierto, se sabe que esta versión multicolor es W [1] -dura: hay una reducción fácil de la camarilla. Creo que también debería ser #W [1] -duro.$X_1,\dots, X_{2k}$

$G$$G'$$X_i$$x_i$$X_i$$X_j$$x_i\times x_j$$k\times k$$G'$$2k$$x_1,\dots,x_{2k}$$2k$$x_1\cdot\dots\cdot x_{2k}$$G$$x_i$$G'$