Pregunta de ejemplo de autómatas finitos cuánticos de 1 vía

Estoy tratando de aclarar mi comprensión en el ejemplo presentado en la Sección 2.2 de Autómatas cuánticos finitos de 1 vía: fortalezas, debilidades y generalizaciones (este enlace alternativo también puede ser útil). Este ejemplo proporciona un ejemplo muy simplificado de un 1-QFA con las siguientes reglas de transición:

,$V_a|q_0\rangle = \frac{1}{2}|q_0\rangle + \frac{1}{2}|q_1\rangle + \frac{1}{\sqrt 2}|q_{rej}\rangle$

,$V_a|q_1\rangle = \frac{1}{2}|q_0\rangle + \frac{1}{2}|q_1\rangle - \frac{1}{\sqrt 2}|q_{rej}\rangle$

,$V_{\$}|q_0\rangle = |q_{rej}\rangle$

$V_{\$}|q_1\rangle = |q_{acc}\rangle$

Por ejemplo, si estoy en y proceso un a como entrada, aplico la primera regla. Tengo entendido que tendría un | El | $q_0$$a$ posibilidades de permanecer en el estado| q0⟩, un| El | $||\frac{1}{2}||^2 = \frac{1}{4}$$|q_0\rangle$ posibilidades de progresar al estado| q1⟩y una| El | $||\frac{1}{2}||^2 = \frac{1}{4}$$|q_1\rangle$ posibilidades de terminar el cálculo y rechazar la cadena.$||\frac{1}{\sqrt 2}||^2 = \frac{1}{2}$

Me imagino los autómatas para que esto se vea como la siguiente imagen

Sin embargo, no estoy completamente seguro de si eso es correcto. Las probabilidades mencionadas en el documento para la aceptación de la cadena es $aa$ mientras que la probabilidad de rechazo es$\frac{1}{4}$ . Solo me pregunto si alguien podría señalar una falla o validar lo que tengo conceptualmente en mente para el ejemplo.$\frac{3}{4}$

Gracias.

Se modificó el modelo de autómatas para reflejar con mayor precisión las probabilidades:

$V_a$$|q_{0}⟩$$|q_{1}⟩$$|q_{0}⟩\langle q_{0}|$$|q_{1}⟩\langle q_{1}|$. En otras palabras, estos números no representan probabilidades, no corresponden a los resultados de la medición a realizar. Por lo tanto, etiquetar las flechas del diagrama con estos números daría una ilustración potencialmente engañosa de cómo está funcionando el proceso de medición.

$a$$V_a$

• $P_{acc}=|q_{acc}⟩\langle q_{acc}|$
• $P_{rej}=|q_{rej}⟩\langle q_{rej}|$
• $P_{non}= |q_{0}⟩\langle q_{0}|+|q_{1}⟩\langle q_{1}|$

En otras palabras, la medición tiene tres resultados posibles: ( acc ) el autómata mide un estado de aceptación y se detiene; ( rej ) el autómata mide un estado de rechazo y se detiene; ( no ) el automatismo mide otra cosa, no se detiene y lee el siguiente símbolo (no estados para no detenerse).

$(|q_{0}⟩+|q_{1}⟩)/2$$P_{non}$$|q_{0}⟩$$|q_{1}⟩$

Teniendo en cuenta todo lo dicho, es fácil seguir el cálculo dado en su referencia principal . Para ilustrar todo lo dicho y, para completar, lo citaré aquí con algunos comentarios menores (aunque agregué algunas modificaciones, no sé si este tipo de cita es aceptable; si no lo es , por favor, permítame saber o editar la respuesta usted mismo):

$|q_0\rangle$

1. $V_a$$\frac{1}{2} |q_0\rangle+\frac{1}{2} |q_1\rangle+ \frac{1}{\sqrt{2}} |q_{rej}\rangle$$(1/\sqrt{2})^2=1/2$$|q_{rej}\rangle$$1/2$$\frac{1}{2} |q_0\rangle+\frac{1}{2} |q_1\rangle$

2. $\frac{1}{2} |q_0\rangle+\frac{1}{2} |q_1\rangle$$V_a$

3. $V_{\$}$$\$$$\frac{1}{2} |q_{rej}\rangle+\frac{1}{2} |q_{acc}\rangle$$(1/2)^2=1/4$$q_{rej}$$1/4$$q_{acc}$

$1/4$$1/2+1/4=3/4$

Juan Bermejo Vega ha dado un resumen preciso de lo que se dice en el documento original. Te daré una descripción de nivel superior.

Recomendaré, en su caso, evitar pensar en las amplitudes como probabilidades por completo. Están relacionados con las probabilidades, pero no es especialmente útil pensar en estos autómatas finitos. Sospecho que las cosas serán mucho más claras si piensas en esto como una receta ligeramente abstracta para transformar vectores de valores complejos.

¿Qué vectores estamos transformando? Bueno: suponga que tiene un autómata finito con n estados. El autómata representa un modelo (sí, probabilístico) para transformar vectores, que en cualquier momento puede dar lugar a una decisión de aceptación o rechazo.

• $\mathcal H$$\mathcal H$
• $V_q : \mathcal H \to \mathcal H$$V_q^\dagger V_q = I$$V_c$$V_c = I$$V_\$$
• $V_c\,\mathbf{\hat e}_1$$V_c$$\mathbf{\hat e}_1$$q_0$
  
  
  1. $a$$V_a$
  2. $\mathbf v$$u_A$$u_R$$|u_A|^2$$|u_R|^2$
  3. $(1 - |u_A|^2 - |u_R|^2)^{-1/2}$
  4. Proceda a la siguiente carta.
     
• Realizamos estas transformaciones para cada letra de la palabra, y también para un símbolo de terminación $ que agregamos al final.

Las únicas probabilidades en que entran en juego es con el eje de aceptación y rechazo . Si bien este modelo de computación está obviamente inspirado en autómatas finitos, es simple no útil interpretar ninguno de los otros coeficientes del vector, en ningún momento (¡incluso al final!), Como probabilidades.

Tenga en cuenta que las probabilidades de aceptar y rechazar en cada paso de tiempo son probabilidades condicionales , es decir  , dependen de que el cálculo aún no se haya detenido; si desea calcular la probabilidad total de aceptación / rechazo, puede hacerlo más fácilmente prescindiendo del paso de "renormalización" en la evolución (la parte donde multiplicamos por el valor de la raíz cuadrada inversa, pero aún estableciendo la aceptación / rechazar los coeficientes a cero si el cálculo continúa), y simplemente sumar todas las contribuciones probabilísticas para aceptar / rechazar que surjan en el camino.

Asume incorrectamente que el estado colapsa completamente (a un estado de base computacional) después de leer cada símbolo. La medición en cada etapa es solo parcial.