¿Qué se sabe sobre las soluciones a problemas de programación lineal de enteros dispersos?

Si tengo un conjunto de restricciones lineales en las que cada restricción tiene como máximo (por ejemplo) 4 variables (todas no negativas y con coeficientes {0,1} excepto una variable que puede tener un coeficiente -1), qué se sabe sobre la solución ¿espacio? Me preocupa menos una solución eficiente (aunque indique si se conoce una) que saber cuán pequeño puede ser el mínimo de la función objetivo, en función de la cantidad de variables y la cantidad de restricciones, y la cantidad de variables por restricción.

Más concretamente, el programa es algo así como

minimizar t
  sujeto a
todo i, x_i es un entero positivo
x1 + x2 + x3 - t <0
x1 + x4 + x5 - t <0
...
x3 + x6 - t ≥ 0
x1 + x2 + x7 - t ≥ 0
...

Si se necesita una pregunta concreta, ¿es el caso de que la solución mínima obedece t <= O (max {# de variables, # de restricciones}), con la constante en O () dependiendo de la escasez? Pero incluso si la respuesta es no, estoy más interesado en saber qué tipo de libro de texto o papel estudiar para una discusión sobre tales temas, y si hay un área de estudio dedicada a este tipo de cosas, pero simplemente no sé los términos a buscar Gracias.

Actualización: con una mayor reflexión (y pensando en la reducción bastante simple de 3SAT a ILP, que utiliza restricciones con tres variables), me doy cuenta de que la cuestión de los coeficientes es crítica (si va a haber un algoritmo eficiente). Más precisamente, todas las variables x_i tienen coeficientes 0 o 1 (con un máximo de tres coeficientes 1 en cualquier restricción), y todas las variables t tienen coeficientes -1, y todas las comparaciones tienen variables a la izquierda y 0 a la derecha. Actualicé el ejemplo anterior para aclarar.

La respuesta a esto (al menos a la pregunta concreta sobre el límite lineal de la solución) es no. Esto forma parte del siguiente documento: http://arxiv.org/abs/1011.3493 . El teorema 5.1 fue la motivación para esta pregunta.

El contraejemplo es este:

caso base:

a_1 '+ b_1' - t ≥ 0
a_1 '' + b_1 '' - t ≥ 0
a_1 + b_1 '- t ≤ -1
a_1 '+ b_1' '- t ≤ -1

caso recursivo:

a_n '+ b_n' + a_ {n-1} - t ≥ 0
a_n '' + b_n '' + a_ {n-1} - t ≥ 0
a_n + b_n '+ a_ {n-1}' '- t ≤ -1
a_n '+ b_n' + a_ {n-1} '' - t ≤ -1

junto con la exigencia de que todos sean no negativos.

Puede probar por inducción que cualquier solución real debe satisfacer a_n ''> = a_n + 2 ^ n. Cambiamos las desigualdades "<0" en "≤ -1" porque cualquier solución entera satisface "≤ -1" si y solo si satisface "<0".

Entonces, la moraleja es que n desigualdades de esta forma pueden tener la propiedad de que todas las soluciones enteras tienen al menos un entero al menos exponencial en n, ciertamente no están limitadas linealmente como sospechamos originalmente.

Si la matriz de coeficientes es totalmente unimodular , entonces existe una solución eficiente a través de la programación lineal ordinaria. Esto es válido para cualquier ILP, no solo para los escasos, aunque es más probable que pueda explotar esta propiedad para un ILP disperso como el suyo.

Sospecho que tal vez ya lo sepas, así que déjame intentar darte una mejor respuesta. Antes de pensar demasiado en los detalles, la respuesta a su pregunta concreta es "sí", existe un límite. La intersección de n desigualdades en m variables define un politopo. Debido a que los coeficientes se comportan tan bien, podemos calcular un límite superior en la dimensión de las coordenadas de sus vértices con un poco de aritmética. Esto le proporciona un límite superior muy fácil en la dimensión de cualquier punto entero dentro del politopo y, por lo tanto, en una solución para su programa entero. ¿Ya has probado esto?

Su problema en particular tiene bastante estructura (tengo curiosidad, ¿de dónde viene?), Así que estoy seguro de que podemos ser mucho más precisos que esto si lo discutimos más a fondo.

Ahora, para la pregunta más general sobre cómo encontrar información sobre este tema. Este es el tipo de problema que tradicionalmente cae en la teoría de la programación lineal y entera, un subconjunto de la programación matemática.

Es un área de investigación bastante activa, pero gran parte del trabajo se lleva a cabo en departamentos de investigación de operaciones bajo los títulos de "optimización" y "programación matemática" en lugar de ciencias de la computación. Hay muchos libros de texto disponibles que cubren el tema. Puede considerar el de Wolsey , que usamos en Berkeley. Aquí hay una lista infrautilizada de mitos y contraejemplos de Greenberg, incluida la programación entera y lineal, que puede darle una idea de lo que las personas consideran al analizar tales problemas. Wolsey es denso, pero es un lugar razonablemente bueno para comenzar: existen muchas técnicas para analizar los ILP y mejorar las formulaciones de problemas hasta el punto de la eficiencia.

Permítanme agregar que si persiguen el enfoque ingenuo, sugiero, analizando la geometría del politopo, los términos a buscar se referirían al límite del tamaño de las coordenadas de los vértices del politopo. Estos términos aparecen con mayor frecuencia en la literatura matemática sobre politopos.

Puede encontrar esta cuenta de interés:

http://en.wikipedia.org/wiki/Polyhedral_combinatorics

y en particular el artículo de G. Ziegler:

Conferencias sobre 0-1 politopos

en:

Kalai, Gil; Ziegler, Günter M. (2000), Polytopes: Combinatorics and Computation, DMV Seminar, 29, Birkhäuser, ISBN 9783764363512.