¿Cuál es la máquina Turing universal de 2 estados no controvertida más simple?

Quiero codificar una máquina simple de Turing en las reglas de un juego de cartas. Me gustaría convertirlo en una máquina universal de Turing para demostrar su integridad.

Hasta ahora, he creado un estado de juego que codifica la máquina Turing de 2 estados y 3 símbolos de Alex Smith . Sin embargo, parece (sin duda basado en Wikipedia) que existe cierta controversia sobre si la máquina (2, 3) es realmente universal.

Por el bien del rigor, me gustaría que mi prueba presentara un UTM "no controvertido". Entonces mis preguntas son:

1. ¿La máquina (2,3) generalmente se considera universal, no universal o controvertida? No sé dónde serían lugares acreditados para buscar la respuesta a esto.

2. Si la máquina (2,3) no es ampliamente aceptada como universal, ¿cuál es la N más pequeña de tal manera que una máquina (2, N) no sea polémica como universal?

Editado para agregar: También sería útil conocer cualquier requisito para la cinta infinita para las máquinas mencionadas, si las conoce. Parece que la máquina (2,3) requiere un estado inicial de cinta que no sea periódico, lo que será un poco difícil de simular dentro de las reglas de un juego de cartas.

Ha habido algunos resultados nuevos desde el trabajo citado en las respuestas anteriores. Esta encuesta describe el estado del arte (ver Figura 1). El tamaño de la máquina Turing universal más pequeña conocida depende de los detalles del modelo y aquí hay dos resultados que son relevantes para esta discusión:

• Hay una máquina universal estándar de 2 estados y 18 símbolos (Rogozhin 1996. TCS, 168 (2): 215–240). Aquí tenemos la noción habitual de símbolo en blanco en una o ambas direcciones de una sola cinta.
• Hay una máquina débilmente universal de 2 estados y 4 símbolos (Neary, Woods 2009. FCT. Springer LNCS 5699: 262-273). Aquí tenemos una sola cinta que contiene la entrada finita, y una palabra constante (independiente de la entrada) repetida infinitamente a la derecha, con otra palabra constante l repetida infinitamente a la izquierda. Esto mejora en la máquina débilmente universal mencionada por David Eppstein.$r$$l$

Parece que el (2,18) es más útil para usted.

$M$$w$$t$$M$$w$$t$

La figura muestra las máquinas universales más pequeñas conocidas para una variedad de modelos de máquinas de Turing (tomadas de Neary, Woods SOFSEM 2012), las referencias se pueden encontrar aquí .

Esta no es una respuesta real a su pregunta (no sé mucho sobre el debate de la máquina (2,3)); pero le sugiero el artículo " Pequeñas máquinas de Turing y competencia generalizada de castores ocupados ". Lo leí rápidamente hace algún tiempo, y tiene un bonito gráfico con los límites entre los 4 tipos de TM pequeñas:

• decidible
• Abra el problema de Collatz
• $3x + 1$
• universal

(Quizás se hayan mejorado algunos resultados).

La noción de TM utilizada en el documento es la definición estándar de TM utilizada en documentos en pequeñas máquinas Turing universales:

... Tienen una cinta unidimensional única infinita en ambas direcciones, y un cabezal único de lectura y escritura de dos vías. Hay un símbolo en blanco denotado por 0. Inicialmente, una palabra finita, la entrada, se escribe en la cinta, otras celdas contienen el símbolo en blanco, la cabeza lee el símbolo más a la izquierda de la entrada y el estado es el estado inicial. En cada paso, de acuerdo con el estado actual de la máquina y el símbolo leído por la cabeza, el símbolo se modifica, la cabeza se mueve hacia la izquierda o hacia la derecha (y no puede permanecer leyendo la misma celda), y el estado se modifica. El cálculo se detiene cuando se alcanza un estado de detención especial. ...

También es posible lograr la universalidad con 7 estados y 2 símbolos, aunque se aplican muchas de las mismas objeciones (condiciones iniciales no uniformes en la cinta infinita y condiciones de terminación inusuales). Consulte http://11011110.livejournal.com/104656.html y http://www.complex-systems.com/abstracts/v15_i01_a01.html

Estos se basan en la simulación del autómata celular de la Regla 110, demostrado universal por Matthew Cook, y Cook también encontró una simulación de 2 estados y 5 símbolos de la Regla 110, si está casado con la restricción de que solo haya dos estados.

$S$$0\leq s < S$$C$$0\leq c< C$$2$$\text{L}$$\text{R}$$C+4SC$

En todo momento, solo la celda actual, o las dos celdas involucradas en una transición, pueden tener colores mejorados: todas las otras celdas tienen su color verdadero. Queremos que nuestra máquina se comporte de la siguiente manera: verifique qué transición real debe realizar, mueva la información del "estado verdadero" de la celda que queremos dejar a la celda objetivo (esto implica un montón de ida y vuelta), limpie el celda que dejamos (dándole un color verdadero), repite

$(c,s)$$\text{L}$$\text{R}$$(c_{\text{new}}, s_{\text{new}}, \text{emit})$$\text{L}$

$c$$\text{L}$$c$$(c,0, \text{L},\text{receive})$$\text{R}$

Aquí están las transiciones para implementar eso. En casi todos los casos, muévase en la dirección especificada por el estado actual, luego voltee el estado

1. $c \to (c,0,\langle dir\rangle,\text{receive})$$\langle dir\rangle$

2. $(c,s) \to (c_{\text{new}},s_{\text{new}},\text{emit})$

3. $(c,s,\text{emit}) \to (c,s-1,\text{emit})$$s>0$

4. $(c,0,\text{emit}) \to c$

5. $(c,s, \langle dir\rangle, \text{receive}) \to (c, s+1, \langle dir\rangle, \text{receive})$$\langle dir\rangle$

6. $(c,s, \langle dir\rangle, \text{receive}) \to (c,s)$$\langle dir\rangle$

$C+3SC$

a menos que defina cuidadosamente "no controvertido" de alguna manera técnica, no hay una respuesta precisa. Aquí hay otra máquina pequeña basada en la regla 110 que demostró ser universal en cierto sentido, pero entiendo que requiere infinitas formulaciones periódicas de cintas de entrada (y también extracción al final cuando la máquina se detiene). no he visto el tema de la cinta "periódica versus no periódica" descrita en la literatura, aunque se ha discutido en, por ejemplo, listas de correo de matemáticas [Lista de correo de Fundamentos de Matemáticas]

La prueba de universalidad de Turing de Alex Smith de la conjeturada máquina de Turing de 2 estados y 3 símbolos de Wolfram definitivamente no es controvertida. La prueba de universalidad dada (no la máquina) requiere un patrón infinito en la cinta de Turing, y la pregunta era si uno debería permitir tales configuraciones (puede pensar en la cinta generalmente en blanco como un patrón repetitivo infinito de símbolos en blanco también). La conclusión fue que, siempre y cuando la configuración en la cinta de la máquina sea fija (es decir, no cambie después de que comience su cómputo y permanezca igual para cualquier cómputo), la máquina de Turing realizará el cómputo universal. Tenga en cuenta que esto NO es controvertido para la regla 110 del autómata celular elemental de Wolfram que Wolfram y Cook demostraron ser universales. La prueba de universalidad de la regla 110 también requiere un patrón infinito en la configuración inicial, uno que sea diferente en ambos lados, por lo que es de la misma naturaleza para la máquina Turing de 2 estados y 3 símbolos. Otra preocupación era que tal relajación del requisito de la condición inicial (en blanco) haría que algunos autómatas universales no Turing aceptados sean universales, como los autómatas de estado finito, acotado lineal o hacia abajo para mencionar algunos ejemplos, pero no lo hace respeta la jerarquía de Chomsky. Por lo tanto, definitivamente no es controvertido si la máquina de Turing de 2 estados y 3 símbolos es universal, pero su prueba de universalidad requirió una variación de lo que generalmente se consideran los potentes de una cinta de máquina de Turing normal. Esto no implica directamente, por cierto, que el estado 2,