Una pregunta relacionada con una máquina de Turing con un estado inútil

Bien, aquí hay una pregunta de una prueba anterior en mi clase de Teoría de la computación:

Un estado inútil en una TM es uno que nunca se ingresa en ninguna cadena de entrada. Deje que Demuestre que es indecidible.U S E L E S S T

$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}} = \{\langle M, q \rangle \mid q \text{ is a useless state in }M\}.$$ $\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

Creo que tengo una respuesta, pero no estoy seguro de si es correcta. Lo incluirá en la sección de respuestas.

Esto es claramente reducible del problema de detención. Si una máquina no se detiene en la entrada , cualquier estado final es "inútil". Dada una entrada para el problema de detención, es fácil construir que se detenga en cada entrada (por lo tanto, su estado final no es inútil) si y solo si detiene en . De esa forma, puede decidir detener el problema si puede decidir , lo que genera una contradicción.x M , x M x M x U S E L E S S T $M$$x$$M,x$$M_x$$M$$x$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

A los fines de esta prueba, asumiremos que es decidible para mostrar una contradicción.$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

Cree TM que haga lo siguiente:$R$

• Convierte TM en un autómata pushdown con una pila relajada (es decir, sin requisito de LIFO). Esto es equivalente a un gráfico dirigido que detalla la transición entre los estados deP $M$$P$$M$
• Marcar el estado de inicio de .$P$
• Desde el estado inicial, comience una búsqueda de amplitud a lo largo de cada borde de salida que marca cada nodo sin marcar.
• Cuando finaliza la búsqueda, si hay nodos no marcados que coinciden con , acepte ; de lo contrario rechazar .$q$

Luego cree TM = "En la entrada $$$S$

1. Cree TM como se muestra arriba.$R$
2. Ejecutar en .$q$$R$
3. Si devuelve aceptar, aceptar ; si rechaza, rechaza " $R$$R$

Por lo tanto, si es un elemento decisivo para entonces es un elemento decisivo para (el problema de aceptación). Dado que se ha demostrado que es indecidible (ver Teoría de la teoría del cálculo de Michael Sipser 4.11 en la página 174), hemos llegado a una contradicción. Por lo tanto, la hipótesis original es incorrecta y es indecidible.U S E L E S S T M S A T M A T M U S E L E S S T $R$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$$S$$A_{\mathrm{TM}}$$A_{\mathrm{TM}}$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$