Decidabilidad de un problema relacionado con polinomios

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Me he encontrado con el siguiente problema interesante: dejemos que sean polinomios sobre el campo de los números reales, y supongamos que sus coeficientes son todos enteros (es decir, hay una representación exacta finita de estos polinomios). Si es necesario, podemos suponer que el grado de ambos polinomios es igual. Denotemos por (resp. ) el mayor valor absoluto de alguna raíz (real o compleja) del polinomio (resp. ). ¿La propiedad decidible? $p,q$ $x_p$ $x_q$ $p$ $q$ $x_p = x_q$

Si no es así, ¿esta propiedad es válida para algunas familias restringidas de polinomios? En el contexto en el que surge este problema, los polinomios son polinomios característicos de matrices, y sus raíces son valores propios.

Soy consciente de algunos algoritmos numéricos para calcular raíces de polinomios / valores propios, sin embargo, estos parecen no ser útiles aquí, ya que la salida de estos algoritmos es solo aproximada. Me parece que el álgebra computacional podría ser útil aquí, sin embargo, desafortunadamente, no tengo casi ningún conocimiento en ese campo.

No estoy buscando una solución detallada para este problema, sin embargo, cualquier intuición e idea de dónde buscar la solución sería útil.

Gracias de antemano.

computability undecidability computer-algebra

— 042
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Si puede calcular el campo de división, puede escribirlos en forma y comparar; para algunos campos, el campo de división no es computable, pero no estoy seguro de si esto es válido para las extensiones de .

(x - x_{0}) (x - x_{1}) \dots

$(x-x_0)(x-x_1)\dots$

Q

$\mathbb{Q}$

— Xodarap

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Tampoco estoy bien informado en ese campo, pero creo que puedo proporcionar una respuesta no constructiva.

La teoría de primer orden de los campos cerrados reales es decidible. Su problema puede expresarse como un sistema de ecuaciones algebraicas e inecuaciones sobre los números algebraicos reales. Considere variables . Desea saber si el siguiente sistema es satisfactorio: $2 (\deg P + \deg Q)$ $x_1,\ldots,x_{\deg P}, y_1,\ldots,y_{\deg P}, x'_1,\ldots,x'_{\deg P}, y'_1,\ldots,y'_{\deg P}$

\begin{align*}  P(x_j+i\,y_j) &= 0 & \text{for \(1 \le j \le \deg P\)} \\  Q(x'_k+i\,y'_k) &= 0 & \text{for \(1 \le k \le \deg Q\)} \\  x_j^2 + y_j^k &\le x_1^2 + x_2^2 & \text{for \(2 \le j \le \deg P\)} \\  x'_j^2 + y'_j^k &\le x'_1^2 + x'_2^2 & \text{for \(2 \le k \le \deg Q\)} \\  x_1^2 + y_1^2 = x'_1^2 + y'_1^2 \\\end{align*}

$\begin{align*} P(x_j+i\,y_j) &= 0 & \text{for $1 \le j \le \deg P$} \\ Q(x'_k+i\,y'_k) &= 0 & \text{for $1 \le k \le \deg Q$} \\ x_j^2 + y_j^k &\le x_1^2 + x_2^2 & \text{for $2 \le j \le \deg P$} \\ x'_j^2 + y'_j^k &\le x'_1^2 + x'_2^2 & \text{for $2 \le k \le \deg Q$} \\ x_1^2 + y_1^2 = x'_1^2 + y'_1^2 \\ \end{align*}$

Las dos primeras familias de ecuaciones expresan que y son raíces de los polinomios, las siguientes dos familias de inecuaciones expresan que y tienen el valor absoluto más grande, y la última inecuación compara estos valores absolutos más grandes. $x_j+i\,y_j$ $x'_k+i\,y'_k$ $x_1+i\,y_1$ $x'_1+i\,y'_1$

Es decidible si este sistema es satisfactoria: su problema es decidible. Sin embargo, esta afirmación probablemente no sea la forma más eficiente de hacerlo.

Una respuesta más útil probablemente involucra la teoría de las bases de Gröbner . Si estás tratando de resolver ese problema por ti mismo, creo que leer los primeros capítulos de cualquier libro de álgebra computacional te dará los antecedentes necesarios. Si solo está tratando de resolver su problema subyacente, probablemente haya un algoritmo estándar que pueda implementar.

— Gilles 'SO- deja de ser malvado'
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Puedo estar equivocado acerca de esto: tampoco estoy muy bien informado en este campo (¿dónde están los expertos?), Pero creo que tengo un algoritmo razonablemente rápido para lo que está preguntando.

Voy a suponer, por simplicidad, que todas las raíces son reales. Encuentre un intervalo vinculado en la raíz de con el valor absoluto más alto (es decir, un intervalo tal que y para todas las demás raíces de ). Tal intervalo se puede encontrar mediante el uso combinado de la dicotomía y el teorema de Sturm . Ahora calcular el GCD polinomio de y . Verifique que tenga una raíz en (nuevamente con el teorema de Sturm). $P$ $I$ $x_P\in I$ $x_P'\notin I$ $P$ $R$ $P$ $Q$ $R$ $I$

Si no me equivoco, tiene una raíz tal si y sólo si y tienen una raíz común en que a su vez sólo es posible si es una raíz de . Tanto la aplicación del teorema de Sturm como el GCD son bastante rápidos (de hecho, no más que cuadrático en el tamaño de los polinomios). $R$ $P$ $Q$ $I$ $x_P$ $Q$

Esto es solo un boceto, pero no se necesita mucho para convertirlo en un algoritmo de buena fe , de hecho, sospecho que el uso de Maple o Mathematica haría que esto sea trivial.

— cody
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