Después de haber trabajado con la policía de Londres por un tiempo, puedo decirte que no, no puedes. Hasta hace unos años, esto era posible con una solicitud anticipada, sin embargo, hubo un incidente por el cual el civil en el viaje resultó herido. Para abreviar la larga historia, la práctica se detuvo de inmediato.
Además, incluso a los oficiales de policía (es decir, ya aceptados en la policía pero aún en formación) normalmente no se les permite ir de paseo, aunque esta regla es un poco más fácil de ignorar si conoce a las personas adecuadas.
Un civil puede viajar en un vehículo policial, como señaló @avid, por una de dos razones: si es arrestado (yendo a la estación de policía) o si es víctima de un delito (conducir tratando de identificar al autor). También hay circunstancias excepcionales en las que podrías terminar viajando en un vehículo policial desde el punto A hasta el punto B, pero nunca acompañarías a los oficiales de policía en sus tareas habituales.
La única excepción que conozco es para los medios / periodistas que trabajan en material sobre la policía, pero los trámites para hacerlo son peores de lo que puedas imaginar.