¿Por qué los errores no distribuidos normalmente comprometen la validez de nuestras declaraciones de importancia?

Hay una suposición de normalidad cuando se trata de considerar modelos OLS y es que los errores se distribuyen normalmente. He estado navegando por Cross Validated y parece que Y y X no tienen que ser normales para que los errores sean normales. Mi pregunta es ¿por qué cuando tenemos errores no distribuidos normalmente se ve comprometida la validez de nuestras declaraciones de significado? ¿Por qué los intervalos de confianza serán demasiado amplios o estrechos?

¿Por qué cuando tenemos errores no distribuidos normalmente se ve comprometida la validez de nuestras declaraciones de importancia? ¿Por qué los intervalos de confianza serán demasiado amplios o estrechos?

Los intervalos de confianza se basan en la forma en que el numerador y el denominador se distribuyen en una estadística t.

Con datos normales, el numerador de un estadístico t tiene una distribución normal y la distribución del cuadrado del denominador (que es entonces una varianza) es un múltiplo particular de una distribución chi-cuadrado. Cuando el numerador y el denominador también son independientes (como solo será el caso con datos normales, dado que las observaciones en sí son independientes), toda la estadística tiene una distribución t.

$\frac{\hat \beta - \beta}{s_{\hat\beta}}$$\beta$$t$

Si los datos fueran de alguna otra distribución, la estadística no tendría una distribución t. Por ejemplo, si tuviera una cola pesada, la distribución t tendería a ser un poco más ligera (las observaciones externas afectan al denominador más que al numerador). Aquí hay un ejemplo. En ambos casos, el histograma es para 10,000 regresiones:

$\beta=0$$(-2,2)$

Un intervalo t del 95% (que debe incluir el 95% de las pendientes en nuestra muestra) va de -2.048 a 2.048. Para los datos normales, en realidad incluía el 95.15% de las 10000 pendientes de muestra. Para los datos asimétricos, incluye el 99,91%.