Cuadrado de distribución normal con varianza específica

¿Cuál es la distribución de la plaza de una variable aleatoria distribuida normalmente $X^2$ con $X\sim N(0,\sigma^2/4)$ ?
Sé que $\chi^2(1)=Z^2$ es un argumento válido para cuadrar una distribución normal estándar , pero ¿qué pasa con el caso de la varianza no unitaria?

distributions normal-distribution

— CodeTrek
fuente

¿Por qué no solo calcular esto directamente de la ecuación Normal, luego trazar la función resultante?

Estoy buscando una explicación teórica aquí ...

— CodeTrek

Escribe

... o equivalente

Z = \frac{X}{σ / 2}

$Z = \frac{X}{\sigma/2}$

. ¿Puedes hacerlo ahora?

X = \frac{σ}{2} \cdot Z

$X=\frac{\sigma}{2}\cdot Z$

— Glen_b -Reinstate Monica el

? Entonces, ¿nada de cosas elegantes de chi cuadrado no centrado?

σ^{2} / 4 * χ^{2} (1)

$\sigma^2/4∗\chi^2(1)$

— CodeTrek

Mientras la media sea

, no hay elementos de chi-cuadrado no central; simplemente vainilla escalado distribución

como Glen_b señala.

0

$0$

χ^{2}

$\chi^2$

— Dilip Sarwate

Para cerrar este:

X \sim N (0, σ^{2} / 4) \Rightarrow \frac{X^{2}}{σ^{2} / 4} \sim χ_{1}^{2} \Rightarrow X^{2} = \frac{σ^{2}}{4} χ_{1}^{2} = Q \sim Gamma (1 / 2, σ^{2} / 2)

$X\sim N(0,\sigma^2/4) \Rightarrow \frac {X^2}{\sigma^2/4}\sim \mathcal \chi^2_1 \Rightarrow X^2 = \frac {\sigma^2}{4}\mathcal \chi^2_1 = Q\sim \text{Gamma}(1/2, \sigma^2/2)$

con

E (Q) = \frac{σ^{2}}{4}, Var (Q) = \frac{σ^{4}}{8}

$E(Q) = \frac {\sigma^2}{4},\;\; \text{Var}(Q) = \frac {\sigma^4}{8}$

— Alecos Papadopoulos
fuente

This is wrong. If

X \sim N (μ, σ^{2})

$X\sim N(\mu, \sigma^2)$ luego

\frac{X - μ}{σ} \sim χ_{1}^{2}

$\frac{X - \mu}{\sigma}\sim \chi_1^2$ but not

\frac{X - μ}{σ^{2}}

$\frac{X-\mu}{\sigma^2}$ . You are dividing

X

$X$ by the wrong factor. Look here: en.wikipedia.org/wiki/…

— Euler_Salter

@Euler_Salter Have you looked how the

X

$X$ variable se define en la pregunta del OP?

— Alecos Papadopoulos

Oh, me perdí eso! ¡Lee demasiado rápido! Disculpas

— Euler_Salter

@Euler_Salter Además, la variable estandarizada sigue una distribución de chi , en.wikipedia.org/wiki/Chi_distribution . Tienes que cuadrarlo para obtener un chi-cuadrado.

— Alecos Papadopoulos