Homoscedasticidad condicional vs heteroscedasticidad

De Econometrics , por Fumio Hayashi (Chpt 1):

Homocedasticidad incondicional:

El segundo momento de los términos de error E (εᵢ²) es constante a través de las observaciones
La forma funcional E (εᵢ² | xi) es constante a través de las observaciones

Homocedasticidad condicional:

Se levanta la restricción de que el segundo momento de los términos de error E (εᵢ²) es constante a través de las observaciones
- Por lo tanto, el segundo momento condicional E (εᵢ² | xi) puede diferir entre las observaciones a través de la posible dependencia de xᵢ.

Entonces, mi pregunta:

¿En qué se diferencia la homocedasticidad condicional de la heterocedasticidad?

Entiendo que hay heterocedasticidad cuando el segundo momento difiere entre las observaciones (xᵢ).

— Alec
fuente

Tal vez esto ayude: www2.econ.iastate.edu/classes/econ674/falk/…

— whuber

Hay un pequeño problema en que la conferencia dice "Por lo tanto, la homoesquedasticidad condicional implica homoscedasticidad incondicional" en contradicción con el libro de Econometría. Parecen estar condicionando cosas diferentes.

— Henry

@Henry Es difícil distinguir de la presente pregunta qué definiciones son correctas y cuáles no; algunas de ellas no parecen tener sentido en el contexto del libro de texto. Alguna aclaración sería bienvenida.

— whuber

Comenzaré citando a Hayashi para ayudar a cualquier otra persona que quiera comentar. He tratado de preservar el formato y los números de ecuaciones originales.

Comience la cita de Hayashi página 126, sección 2.6:

Homocedasticidad condicional versus incondicional

El supuesto condicional de homoscedasticidad es:

\begin{aligned} (2.6.1) & E (ϵ_{i}^{2} | x_{i}) = σ^{2} > 0. \end{aligned}

$\begin{align*} \tag{2.6.1} E(\epsilon_i^2|\mathbf{x}_i)=\sigma^2>0. \end{align*}$

E (ϵ_{i}^{2})

$E(\epsilon_i^2)$

σ^{2}

$\sigma^2$

Fin de la cita.

\begin{aligned} (1.1.12) & E (ϵ_{i}^{2} | X) = σ^{2} > 0 (i = 1, 2, \dots, n) \\ (1.1.17) & E (ϵ_{i}^{2} | x_{i}) = σ^{2} > 0 (i = 1, 2, . \dots, n) . \end{aligned}

$\begin{align*} \tag{1.1.12} E(\epsilon_i^2|\mathbf{X})=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,\ldots,n) \\\ \tag{1.1.17} E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,.\ldots,n). \end{align*}$

$(\epsilon_i,\mathbf x_i)$ $i$ $E(\epsilon_i^2)$ $i$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$ $i$ $i$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$ $i$ $\mathbf x_i$

[No hay más citas de Hayashi, solo mi comprensión después de este punto.]

$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2)=E[E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)]=E[\sigma^2]=\sigma^2$

$\mathbf x_i$ $\epsilon_i$ $\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2)=\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)\ne\sigma^2$ ; Los ejemplos 2.6 (página 127) ilustran esto. Quizás también responda a la cuestión de la superposición entre homo y heterocedasticidad: da un ejemplo donde hay homoscedasticidad incondicional, así como heterocedasticidad condicional.

Estos son conceptos confusos, especialmente sin mucha experiencia con expectativas / distribuciones condicionales, pero es de esperar que esto agregue algo de claridad (y material fuente para cualquier discusión futura).

— David M Kaplan
fuente

Podría ser útil resumir esos ejemplos aquí para aclarar más completamente la distinción entre estos conceptos confusos.

— gung - Restablece a Monica