¿Distribución de la convolución de las variables normales al cuadrado y chi cuadrado?

El siguiente problema surgió recientemente al analizar los datos. Si la variable aleatoria X sigue una distribución normal e Y sigue una distribución $\chi^2_n$ (con n dof), ¿cómo se distribuye ? Hasta ahora se me ocurrió el pdf de : $Z = X^2 + Y^2$ $Y^2$

\begin{array}{rcl} ψ_{n}^{2} (x) & = & \frac{\partial F (\sqrt{x})}{\partial x} \\ = & {(\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{t^{n / 2 - 1} \cdot e^{- t / 2}}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} d t)}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} \cdot {(\sqrt{x})}^{n / 2 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \cdot {(\sqrt{x})}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2 - 1} Γ (n / 2)} \cdot x^{n / 4 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \end{array}

$\begin{eqnarray} \psi^2_n(x) &=& \frac{\partial F(\sqrt{x})}{\partial x} \\ &=& \left( \int_0^{\sqrt{x}} \frac{t^{n/2-1}\cdot e^{-t/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \mathrm{d}t \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^{n/2-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2-1}\Gamma(n/2)} \cdot x^{n/4-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \end{eqnarray}$

así como algunas simplificaciones para la integral de convolución ( tiene el pdf con m dof): $X^2$ $\chi^2_m$

\begin{array}{rcl} K_{m n} (t) & := & (χ_{m}^{2} * ψ_{n}^{2}) (t) \\ = & \int_{0}^{t} χ_{m}^{2} (x) \cdot ψ_{n}^{2} (t - x) d x \\ = & {(2^{\frac{(n + m)}{2} + 1} Γ (\frac{m}{2}) Γ (\frac{n}{2}))}^{- 1} \cdot \int_{0}^{t} (t - x)^{\frac{n}{4} - 1} \cdot x^{\frac{m}{2} - 1} \cdot \exp (- (\sqrt{t - x} + x) / 2) d x \end{array}

$\begin{eqnarray} K_{mn}(t) &:=& ( \chi^2_m \ast \psi^2_n )(t) \\ &=& \int_0^t \chi^2_m(x) \cdot \psi^2_n(t-x) \mathrm{d}x \\ &=& \left( 2^{\frac{(n+m)}{2}+1} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2}) \right)^{-1} \cdot \int_0^t (t-x)^{\frac{n}{4}-1} \cdot x^{\frac{m}{2}-1} \cdot \exp(-(\sqrt{t-x}+x)/2) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$

¿Alguien ve una buena manera de calcular esta integral para cualquier t real o tiene que calcularse numéricamente? ¿O me estoy perdiendo una solución mucho más simple?

— Leo Szilard
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Si la

no fuera cuadrada, tendría algunos consejos específicos. No creo que este sea manejable (ni necesariamente particularmente esclarecedor, incluso si fuera demostrable manejable). Me sentiría tentado a mirar enfoques computacionales, como la convolución numérica o la simulación, dependiendo exactamente de lo que quiera hacer con el resultado.

Y

$Y$

— Glen_b -Reinstalar Monica

En mi opinión, es muy poco probable que se pueda hacer la integral.

— Dave31415

n

$n$

m

$m$

n

$n$

m

$m$

\sqrt{t}

$\sqrt{t}$

x = t - u^{2}

$x=t-u^2$

n = 2, m = 4

$n=2,m=4$

\frac{1}{4} e^{- \frac{1}{8} (2 \sqrt{t} + 1)^{2}} (e^{\frac{\sqrt{t}}{2}} (\sqrt{2 π} (4 t + 3) (erfi (\frac{2 \sqrt{t} - 1}{2 \sqrt{2}}) + erfi (\frac{1}{2 \sqrt{2}})) + 4 e^{\frac{1}{8}}) - 4 e^{\frac{t}{2} + \frac{1}{8}} (2 \sqrt{t} + 1))

$\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{8}(2\sqrt{t}+1)^2}(e^{\frac{\sqrt{t}}{2}}(\sqrt{2\pi} (4t+3)(\text{erfi}(\frac{2\sqrt{t}-1}{2\sqrt{2}})+\text{erfi}(\frac{1}{2\sqrt{2}}))+4e^\frac{1}{8})-4 e^{\frac{t}{2}+\frac{1}{8}}(2\sqrt{t}+1))$

Agradable. Para números impares, ¿podrías aproximarlo con el promedio del resultado para delimitar números pares? O tal vez no.

— Dave31415

Gracias por tus respuestas! Para algunos casos pares, obtuve un resultado similar relacionado con la función de Dawson, pero parece que tendré que trabajar un poco más para una solución general ...

— Leo Szilard

$Y^2$

Stacy, EW (1962). Una generalización de la distribución gamma. Annals of Mathematical Statistics 33 (3) , págs. 1187-1192.

— Reinstalar a Mónica
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$^2$

— Carl
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¿Podría explicar cómo responde esto a la pregunta? No parece estar directamente relacionado.

— whuber

Se puede hacer una convolución de Pearson tipo III consigo misma. Por alguna razón, enredar una cosa consigo misma es más fácil de resolver que convolucionar una cosa con otra. Por ejemplo, resolví la convolución de Pearson tipo III y obtuve las convoluciones de ND con GD, un problema relacionado.

— Carl

No parece haber ayudado, se eliminará en breve.

— Carl