¿La media y la varianza siempre existen para distribuciones familiares exponenciales?

Suponga que una variable aleatoria escalar $X$ pertenece a una familia exponencial de parámetros vectoriales con pdf

f_{X} (x | θ) = h (x) \exp (\sum_{i = 1}^{s} η_{i} (θ) T_{i} (x) - A (θ))

$f_X(x|\boldsymbol \theta) = h(x) \exp\left(\sum_{i=1}^s \eta_i({\boldsymbol \theta}) T_i(x) - A({\boldsymbol \theta}) \right)$

donde es el vector de parámetros y es la estadística conjunta suficiente. ${\boldsymbol \theta} = \left(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_s \right )^T$ $\mathbf{T}(x)= \left(T_1(x), T_2(x), \cdots,T_s(x) \right)^T$

Se puede demostrar que existen la media y la varianza para cada $T_i(x)$ . Sin embargo, ¿la media y la varianza para $X$ (es decir, $E(X)$ y $Var(X)$ ) siempre existen también? Si no, ¿hay un ejemplo de una distribución familiar exponencial de esta forma cuya media y variable no existen?

Gracias.

— Wei
fuente

Tomando , , , y da proporcionado , produciendo $s=1$ $h(x)=1$ $\eta_1(\theta)=\theta$ $T_1(x)=\log(|x|+1)$ $A(\theta)=\log\left(-2/(1+\theta)\right)$ $\theta \lt -1$

f_{X} (x | θ) = \exp (θ \log (| x | + 1) - \log (\frac{- 2}{1 + θ})) = - \frac{1 + θ}{2} (1 + | x |)^{θ} .

$f_X(x|\theta) = \exp\left(\theta\log(|x|+1) - \log\left(\frac{-2}{1+\theta}\right)\right) = -\frac{1+\theta}{2}(1+|x|)^\theta.$

Figura

Se muestran gráficos de para (en azul, rojo y dorado, respectivamente). $f_X(\ |\theta)$ $\theta=-3/2, -2, -3$

Claramente, los momentos absolutos de pesos o mayor no existen, porque el integrando , que es asintóticamente proporcional a , producirá una integral convergente en los límites si y solo si . En particular, cuando esta distribución ni siquiera tiene una media (y ciertamente no una varianza). $\alpha=-1-\theta$ $|x|^\alpha f_X(x|\theta)$ $|x|^{\alpha+\theta}$ $\pm\infty$ $\alpha+\theta\lt -1$ $-2 \le \theta \lt -1,$

— whuber
fuente

No entiendo la condición . ¿Te refieres a ? Cuando , no está definido y es negativo y no puede ser un pdf. Por favor, hágame saber lo que me perdí. Gracias.

θ < - 1

$\theta < -1$

θ > - 1

$\theta > -1$

θ < - 1

$\theta < -1$

A (θ)

$A(\theta)$

f_{X} (x | θ)

$f_X(x|\theta)$

— Wei

Me disculpo, porque un signo menos se omitió en el cálculo de . Lo he reemplazado en las fórmulas. Realmente quiero decir .

A

$A$

θ < - 1

$\theta\lt -1$

— whuber

Gracias por el ejemplo. Estoy de acuerdo con los momentos de. ¿Qué tal los momentos de sí? Por ejemplo, cuando en su ejemplo anterior, ¿existe ?

| x |

$|x|$

x

$x$

- 2 < θ < - 1

$-2<\theta <-1$

E (x)

$E(x)$

— Wei

Debido a que la integral de Lebesgue se define en términos de las partes positivas y negativas del integrando, los momentos de existen si y solo si los momentos deexiste.

x

$x$

| x |

$|x|$

— whuber

@Wei: existe solo si . Sin esta restricción, la expectativa no se define de manera única para algunos CDF.

E {g (X)}

$\mathrm{E}\{g(X)\}$

E {| g (X) |} < \infty

$\mathrm{E}\{\, \left| g(X)\, \right| \} < \infty$

— Dennis