Ejemplo de CLT cuando los momentos no existen

Considere $X_n = \begin{cases} 1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ -1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ 2^k & \text{w.p. } 2^{-k} \text{ for } k > n\\ \end{cases}$

Necesito demostrar que a pesar de que esto tiene infinitos momentos,

$$\sqrt{n}(\bar{X}_n) \overset{d}{\to} N(0,1)$$

He intentado mostrar esto usando el Teorema de continuidad de Levy, es decir, he intentado mostrar que la función característica del lado izquierdo converge con la función característica de la normal estándar. Sin embargo, esto parecía imposible de mostrar.

Una sugerencia proporcionada para este problema fue truncar cada $X_i$ , es decir, dejar $Y_{ni} = X_i I\{X_i \leq n\}$ y usar la condición de Lindeberg para mostrar que $\sqrt{n} \bar{Y}_n \overset{d}{\to} N(0,1)$.

Sin embargo, no he podido demostrar que se cumple la condición de Lyapunov. Esto se debe principalmente a que $Y_{ni}$ no se comporta como quisiera. Me gustaría que $Y_{ni}$ solo tome los valores -1 y 1, sin embargo, de la forma en que está construido, puede tomar los valores $-1, 1, 2^{i+1}, 2^{i+2}, \dots, 2^{\lfloor\log_2 n\rfloor}$

Aquí hay una respuesta basada en el comentario de @ cardinal:

$(X_i)_{i=0}^{\infty}$$(Y_i)_{i=0}^{\infty}$$Y_i=X_i \mathbb{1}_{\{X_i\leq 1\}}$

$$\frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n \mathbb E (Y_i^2 \mathbb{1}_{\{|Y_i|> \epsilon s_n^2\}})\leq \frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n P(|Y_i|> \epsilon s_n^2)\to0,$$ $\epsilon$$s_n^2\to \infty$$n\to \infty.$

$P(X_i\neq Y_i, i.o.) = 0$$P(X_i \neq Y_i)=2^{-i}$$\sum_{i=0}^{\infty} P(X_i \neq Y_i) = 2<\infty$$X_i$$Y_i$ difieren solo finita a menudo casi con seguridad.

$S_{X,n}=\sum_{i=0}^{n} X_i$$S_{Y,n}$$(X_i)_{i=1}^{\infty}$$X_i > 1$$i$$\mathcal{J}$$X_j,j\in \mathcal{J}$

$$\frac{S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}} \to 0,\text{ as }n\to \infty$$ $S_{\mathcal{J}}:=\sum_{j\in \mathcal{J}}X_j$$n$ $$S_{X,n}-S_{Y,n}=S_{\mathcal{J}}.$$

$X_i$$n$

$$\frac{1}{\sqrt{n}}S_{X,n}=\frac{S_{Y,n}+S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}}\overset{d}{\to}\xi+0,$$ $\xi\sim N(0,1)$