Distribución de la razón de variables aleatorias dependientes de chi-cuadrado

Suponga que donde son independientes. $X = X_1 + X_2+\cdots+ X_n$ $X_i \sim N(0,\sigma^2)$

Mi pregunta es, ¿qué distribución hace

Z = \frac{X^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$Z = \frac{X^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

¿seguir? Sé de aquí que la razón de dos variables aleatorias chi-cuadrado expresadas como sigue una distribución Beta. Creo que este asume la independencia entrey. Sin embargo, en mi caso, el denominador decontiene los componentes decuadrado. $\frac{W}{W + Y}$ $W$ $Y$ $Z$ $X$

Creo que también debe seguir una variación de la distribución Beta, pero no estoy seguro. Y si esta suposición es correcta, no sé cómo probarla. $Z$

— x0dros
fuente

Debido a que la distribución del denominador es invariante bajo rotaciones, puede rotar

para igualar

X

$X$

, lo que reduce su pregunta a algo familiar :-).

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt{n}X_1$

— whuber

Estoy bastante seguro de que @whuber significa exactamente lo que se escribió allí. Cuando dices 'nominador' te refieres a 'numerador'?

— Glen_b -Reinstalar Monica

Cuando gira cualquier cosa, usted (por definición) conserva su longitud. Por lo tanto, la varianza de cualquier versión rotada de

debe ser igual a la varianza de

, que es

: ahí es donde

X

$X$

X

$X$

1 + 1 + \dots + 1 = n

$1+1+\cdots+1=n$

término proviene de.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— whuber

@whuber Tu respuesta parece muy interesante, pero tengo algunas dudas al respecto. Cuando dices que puedo rotar

para ser igual a

X

$X$

, esto básicamente significa que puedo reescribir el numerador de

como

y, en consecuencia,

se convierte en

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt nX_1$

Z

$Z$

n X_{1}^{2}

$nX_1^2$

Z

$Z$

. Ahora, si asumo

y dado que

son independientes, puedo suponer que

n \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$n\frac{X_1^2}{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2}$

W = X_{1}^{2}

$W=X_1^2$

Y = X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}

$Y=X_2^2+\cdots+X_n^2$

W

$W$

Y

$Y$

tiene unadistribución

y así sucesivamente. ¿Estoy entendiendo tu punto hasta ahora? Entonces, aquí está mi confusión. Antes de usar el concepto de invariancia rotacional y modificación

Z = n \frac{W}{W + Y}

$Z=n\frac{W}{W+Y}$

β

$\beta$

— ssah

@ssah Usted comete un error al aplicar mi razonamiento: sin

en el denominador, su distribución ya no es invariable a rotaciones arbitrarias de

por lo que las conclusiones ya no son válidas.

X_{1}^{2}

$X_1^2$

(X_{1}, \dots, X_{n}),

$(X_1,\ldots, X_n),$

— whuber

Esta publicación desarrolla las respuestas en los comentarios a la pregunta.

$X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\mathbf{e}_1\in\mathbb{R}^n$ $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n)$

\frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{| | X | |^{2}} = \frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{||X||^2}=\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

$\mathbf{e}_1$ $\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\ldots, 0)$

\begin{matrix} (1) & \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}} . \end{matrix}

$\frac{X_1^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}.\tag{1}$

$X_i$ $\sigma$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $\sigma^2$ $\Gamma(1/2)$ $n-1$ $\Gamma(1/2)$ $\Gamma((n-1)/2)$ $(1)$

\frac{σ^{2} U}{σ^{2} U + σ^{2} V} = \frac{U}{U + V}

$\frac{\sigma^2 U}{\sigma^2 U + \sigma^2 V} = \frac{U}{U+V}$

$U = X_1^2/\sigma^2 \sim \Gamma(1/2)$ $V = (X_2^2 + \cdots + X_n^2)/\sigma^2 \sim \Gamma((n-1)/2)$ $(1/2, (n-1)/2)$ $XY$ $X \sim$ $(1,K-1)$ $Y \sim$ $2K$

X_{1} + \dots + X_{n} = (1, 1, \dots, 1) \cdot (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) = \sqrt{n} e_{1} \cdot X

$X_1 + \cdots + X_n = (1,1,\ldots,1)\cdot (X_1, X_2, \cdots, X_n) = \sqrt{n}\,\mathbf{e}_1\cdot X$

$\mathbf{e}_1=(1,1,\ldots,1)/\sqrt{n}$ $Z$ $(\sqrt{n})^2 = n$ $(1/2, (n-1)/2)$ $n\ge 2$

f_{Z} (z) = \frac{n^{1 - n / 2}}{B (\frac{1}{2}, \frac{n - 1}{2})} \sqrt{\frac{(n - z)^{n - 3}}{z}}

$f_Z(z) = \frac{n^{1-n/2}}{B\left(\frac{1}{2}, \frac{n-1}{2}\right)} \sqrt{\frac{(n-z)^{n-3}}{z}}$

$(0,n)$

$100,000$ $Z$ $\sigma=1$ $n=2,3,10$

Rsum(x)^2 / sum(x^2) $Z$ xnrnormforapplyhistcurve

for (n in c(2, 3, 10)) {
  z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
  hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
  curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— whuber
fuente