¿Por qué es

En un conjunto de problemas probé este "lema", cuyo resultado no es intuitivo para mí. es una distribución normal estándar en un modelo censurado. $Z$

Formalmente, y . Luego, Entonces hay algún tipo de conexión entre la fórmula de expectativa sobre un dominio truncado y la densidad en el punto de truncamiento . ¿Alguien podría explicar la intuición detrás de esto? $Z^* \sim Norm(0, \sigma^2)$ $Z = max(Z^*, c)$

\begin{aligned} E [Z | Z > c] & = \int_{c}^{\infty} z_{i} ϕ (z_{i}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{c}^{\infty} z_{i} \exp (\frac{- 1}{2} z_{i}^{2}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (\frac{- 1}{2} c^{2}) (Integration by substitution) \\ = ϕ (c) \end{aligned}

$\begin{align} E[Z|Z>c] &= \int_c^\infty z_i \phi({z_i})\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_c^\infty z_i \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}z_i^2\bigg)\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}c^2\bigg) \quad\quad\quad\quad\text{ (Integration by substitution)}\\ &= \phi(c) \end{align}$

(c)

$(c)$

normal-distribution pdf intuition

— Heisenberg
fuente

Resulta que es así como consecuencia del hecho de que el término es el negativo de la derivada del término en el exponente; Es uno de los muchos buenos resultados para el estándar normal, pero no necesariamente tiene intuición detrás. Por otro lado, no me sorprendería en absoluto si una de las personas inteligentes aquí podría tener algún tipo de intuición para ello.

z

$z$

— Glen_b -Reinstale a Monica

@Glen_b Lo que estás diciendo es que

, donde

es la PDF decualquierdistribución continua

\int_{c}^{\infty} (- \frac{d}{d z} \log (f (z))) f (z) d z = - \int_{c}^{\infty} f^{'} (z) d z = f (c)

$\int_c^\infty \left(-\frac{d}{dz}\log(f(z))\right) f(z) dz = -\int_c^\infty f^\prime(z)dz = f(c)$

f

$f$

F .

$F.$

— whuber

@whuber Ese es ciertamente el caso, y vale la pena enfatizar ese resultado, ya que es directamente relevante para el resultado en la pregunta, pero en realidad en mi comentario me refería específicamente al caso donde el primero de esos términos es

(ya que el término " la fórmula de la expectativa "estaba en la pregunta, supongo que se trata de

, que es específica de lo normal.

z

$z$

E (Z | Z > c)

$E(Z|Z>c)$

— Glen_b -Reinstale a Monica

(al menos hasta la constante multiplicativa obvia, sobre esa expectativa condicional). Sin embargo,

para esa particular

E (g (Z) | Z > c)

$E(g(Z)|Z>c)$

probablemente valga la pena discutirlo en una respuesta.

g = - \frac{d}{d z} l o g f

$g=-\frac{d}{dz}log f$

— Glen_b -Reinstale a Monica

Su última edición solicita una prueba (o explicación intuitiva) de una declaración incorrecta. La densidad condicional de

condicionada por

Z \sim N (0, 1)

$Z \sim N(0,1)$

Z > c

$Z > c$

y elvalor esperadocondicionales

\frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} 1_{{z : z > c}}

$\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\mathbf 1_{\{z\colon z > c\}}$

y no lo que tienes en tu título revisado.

E [Z ∣ Z > c] = \int_{c}^{\infty} z \frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} d z = \frac{1}{1 - Φ (c)} \int_{c}^{\infty} z ϕ (z) d z

$E[Z\mid Z > c] = \int_c^{\infty}z\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\,\mathrm dz = \frac{1}{1-\Phi(c)}\int_c^{\infty}z\phi(z)\,\mathrm dz$

— Dilip Sarwate

¿Te funcionaría el teorema fundamental del cálculo como intuición?

Deje denotar la función de densidad $\phi(x)$ de una variable aleatoria normal estándar. Entonces, la derivada es $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\phi(x) = -x\phi(x)$

ϕ (x) = \int_{- \infty}^{x} - t ϕ (t) d t = \int_{- x}^{\infty} u ϕ (u) d u = \int_{x}^{\infty} u ϕ (u) d u

$\phi(x) = \int_{-\infty}^x -t\phi(t)\,\mathrm dt = \int_{-x}^\infty u\phi(u)\,\mathrm du = \int_x^\infty u\phi(u)\,\mathrm du$

u = - t

$u = -t$

ϕ (- u) = ϕ (u)

$\phi(-u) = \phi(u)$

ϕ (- x) = ϕ (x)

$\phi(-x) = \phi(x)$

- x

$-x$

+ x

$+x$

+ x

$+x$

\infty

$\infty$

- x

$-x$

+ x

$+x$

0

$0$

— Dilip Sarwate
fuente