La respuesta corta es que su está bien, pero su está mal. Para obtener la distribución estable positiva dada por su fórmula en R, debe establecer
γ γ = | 1 - i tan ( π α / 2 ) | - 1 / α .δγ
γ= | 1 - yo bronceado( πα / 2 ) |- 1 / α.
El primer ejemplo que pude encontrar de la fórmula que dio fue en (Feller, 1971), pero solo encontré ese libro en forma física. Sin embargo (Hougaard, 1986) proporciona la misma fórmula, junto con la transformación de Laplace
Del manual ( se usa en ), la parametrización es de (Samorodnitsky y Taqqu, 1994), otro recurso cuya reproducción en línea me ha eludido. Sin embargo (Weron, 2001) da la función característica en Samorodnitsky y la parametrización de Taqqu para que sea
α ≠ 1 φ ( t ) = E [ exp ( i t X ) ] = exp [ i δ t - γ α | t | α ( 1 - i β s i g
L (s)= E [ exp( - s X) ] = exp( - sα) .
stabledist
stabledist
fBasics
pm=1
α ≠ 1μδσγβ=1δ=0φ(t)=exp[-γα| t| α(1-isign(t)tanπαφ ( t ) = E [ exp( i t X) ] = exp[ i δt - γαEl | t |α( 1 - i βs i g n (t)tanπα2) ] .
Cambié el nombre de algunos parámetros del papel de Weron a coinide con la notación que estamos usando. Utiliza para y para . En cualquier caso, conectando y , obtenemos
μδσγβ= 1δ= 0φ ( t ) = exp[ - γαEl | t |α( 1 - i s i g n ( t ) tanπα2) ] .
Tenga en cuenta que para y que . Formalmente, , entonces estableciendo en obtenemos
Un punto interesante a tener en cuenta es que la que corresponde a también es , por lo que si tuviera que probar o( 1 - yo bronceado( πα / 2 ) ) / | 1 - yo bronceado( πα / 2 ) | = exp( - i πα / 2 )α ∈ ( 0 , 1 )yoα= exp( i πα / 2 )γ = | 1 - i tan ( π α / 2 ) | - 1 / α φ ( t ) φ ( i s ) = exp ( - s α ) = L ( s ) . γ alpha = 1 / 2 1 / 2 γ = alpha γ = 1 - alpha alphaL (s)=φ(is)γ= | 1 - yo bronceado( πα / 2 ) |- 1 / αφ ( t )
φ ( i s ) = exp( - sα) = L ( s ) .
γα = 1 / 21 / 2γ= αγ= 1 - α, que en realidad no es una mala aproximación, terminas exactamente correcto para .
α = 1 / 2
Aquí hay un ejemplo en R para verificar la corrección:
library(stabledist)
# Series representation of the density
PSf <- function(x, alpha, K) {
k <- 1:K
return(
-1 / (pi * x) * sum(
gamma(k * alpha + 1) / factorial(k) *
(-x ^ (-alpha)) ^ k * sin(alpha * k * pi)
)
)
}
# Derived expression for gamma
g <- function(a) {
iu <- complex(real=0, imaginary=1)
return(abs(1 - iu * tan(pi * a / 2)) ^ (-1 / a))
}
x=(1:100)/100
plot(0, xlim=c(0, 1), ylim=c(0, 2), pch='',
xlab='x', ylab='f(x)', main="Density Comparison")
legend('topright', legend=c('Series', 'gamma=g(alpha)'),
lty=c(1, 2), col=c('gray', 'black'),
lwd=c(5, 2))
text(x=c(0.1, 0.25, 0.7), y=c(1.4, 1.1, 0.7),
labels=c(expression(paste(alpha, " = 0.4")),
expression(paste(alpha, " = 0.5")),
expression(paste(alpha, " = 0.6"))))
for(a in seq(0.4, 0.6, by=0.1)) {
y <- vapply(x, PSf, FUN.VALUE=1, alpha=a, K=100)
lines(x, y, col="gray", lwd=5, lty=1)
lines(x, dstable(x, alpha=a, beta=1, gamma=g(a), delta=0, pm=1),
col="black", lwd=2, lty=2)
}
- Feller, W. (1971). Una introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones , 2 , 2ª ed. Nueva York: Wiley.
- Hougaard, P. (1986). Modelos de supervivencia para poblaciones heterogéneas derivadas de distribuciones estables , Biometrika 73 , 387-396.
- Samorodnitsky, G., Taqqu, MS (1994). Procesos aleatorios no gaussianos estables , Chapman & Hall, Nueva York, 1994.
- Weron, R. (2001). Distribuciones estables a Levy revisitadas: índice de cola> 2 no excluye el régimen estable a Levy , International Journal of Modern Physics C, 2001, 12 (2), 209-223.