¿Existe una fórmula de forma cerrada para (o algún tipo de límite en) el EMD entre y ?x 2 ∼ N ( μ 2 , Σ 2 )
¿Existe una fórmula de forma cerrada para (o algún tipo de límite en) el EMD entre y ?x 2 ∼ N ( μ 2 , Σ 2 )
Respuestas:
La distancia del motor de la tierra se puede escribir como , donde el infimum se toma sobre todas las distribuciones conjuntas de y con marginales , . Esto también se conoce como la primera distancia de Wasserstein , que es con el mismo infimum.
Deje , .
superior basado en W_2 :
Nuevamente por la desigualdad de Jensen,
. Así . Pero Dowson y Landau (1982) establecen que
Un límite superior más apretado:
considere el acoplamiento
Este es el mapa derivado por Knott y Smith (1984) , Sobre el mapeo óptimo de distribuciones , Journal of Optimization Theory and Applications, 43 (1) pp 39-49 como el mapeo óptimo para ; Vea también esta publicación de blog . Tenga en cuenta que y
La distancia es entonces , donde ahora
que es normal con
Por lo tanto, un límite superior para es . Desafortunadamente, una forma cerrada para esta expectativa es sorprendentemente desagradable de escribir para las normales multivariadas generales: vea esta pregunta , así como esta .
Si la varianza de termina siendo esférica (por ejemplo, si , , entonces la varianza de convierte en ), la primera pregunta da la respuesta en términos de un polinomio de Laguerre generalizado.
En general, tenemos un límite superior simple para basado en la desigualdad de Jensen, derivado, por ejemplo, en esa primera pregunta:
Esta desigualdad es estricta siempre que no sea degenerada, que es la mayoría de los casos cuando .
Una conjetura : Tal vez este límite superior más cercano, , es ajustado. Por otra parte, tuve un límite superior diferente aquí durante mucho tiempo que que era apretado, que de hecho era más flojo que el , por lo que tal vez no deberías confiar demasiado en esta conjetura. :)