¿Cuál es la probabilidad de que una distribución normal con varianza infinita tenga un valor mayor que su media?

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Hoy me preguntaron algo similar a esto en una entrevista.

El entrevistador quería saber cuál es la probabilidad de que una opción en el dinero termine en el dinero cuando la volatilidad tiende al infinito.

Dije 0% porque las distribuciones normales que subyacen en el modelo de Black-Scholes y la hipótesis de la caminata aleatoria tendrán una varianza infinita. Y pensé que la probabilidad de que todos los valores sean cero.

Mi entrevistador dijo que la respuesta correcta es del 50% porque la distribución normal seguirá siendo simétrica y casi uniforme. Entonces, cuando integras de media a + infinito obtienes 50%.

Todavía no estoy convencido con su razonamiento.

¿Quién tiene la razón?

normal-distribution variance

— louzer
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En realidad, hay un límite (débil) de distribuciones normales a medida que la varianza aumenta hasta el infinito. Implica un prohibido infinitesimal 1 / Aleph (0). Puedes leer mi artículo sobre infinitesimales en Research Gate o en Academia. Escribe "H. Tomasz Grzybowski" en Google, accede a la página de Research Gate con mis artículos, haz clic en "Contribuciones" y encuéntralo.

— H. Tomasz Grzybowski

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Bienvenido a nuestro sitio, @ H.TomaszGrzybowski. He convertido su publicación en un comentario porque sabía que aún no había acumulado la reputación de crear un comentario, pero en realidad no responde la pregunta y, por lo tanto, no puede permanecer como respuesta. Sería interesante leer una solución a este problema que se base en su idea de infinitesimales y un límite débil. ¿Todavía llegue al valor de

o Cómo se encuentra el valor no está definido?

1 / 2

$1/2$

— whuber

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Ninguna forma de razonamiento es matemáticamente rigurosa: no existe una distribución normal con varianza infinita, ni hay una distribución limitante a medida que la varianza crece, así que tengamos un poco de cuidado.

$t \to \infty$ $t$ $0$ $0$ $1/2$ $t \gt 0$ $1/2$

— whuber
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+1 En resumen, razonamiento físico: dos resultados posibles, perfectamente simétricos, y las probabilidades de todos los resultados posibles deben sumar 1 - la única respuesta puede ser 1/2 (-;

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$X_1, X_2,\ldots, X_n$ $\mu$ $\sigma_n$

$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)$ $\sigma_n\to \infty$

$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)=\frac{1}{2}$ $\sigma_n$

Intuitivamente, en lugar de concebir una distribución normal de varianza infinita, debe imaginar una distribución de varianza finita y trabajar con sus límites.

— Bravo
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-2

Debería hacer su análisis basado en una distribución normal de registro, no en una normal. Su entrevistador se equivoca cuando afirma que la distribución es simétrica. Nunca lo sería, independientemente de la variación. También necesita distinguir entre volatilidad y lo que llama variación infinita. Un precio de acciones, por ejemplo, no tiene límite superior, por lo tanto tiene "variación infinita".

— Ralph Winters
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Es correcto que esté involucrada una distribución lognormal, pero no es necesario invocarla, como lo muestra mi respuesta. La distribución normal subyacente es simétrica, por supuesto. El hecho de que el precio de una acción (o cualquier otra cosa) no tenga límite superior no implica que su distribución tenga una variación infinita. En la teoría de Black-Scholes, por cierto, la volatilidad es de hecho el parámetro de varianza (para la distribución de logaritmos).

— whuber

Consideramos la opción, no el stock.

— Wok

@wok Verdadero, pero la teoría depende de la distribución de los precios de los activos (acciones). La distribución de los valores de las opciones no es normal ni lognormal.

— whuber