¿Por qué la prueba F en modelos lineales gaussianos es más poderosa?

$Y=\mu+\sigma G$ $\mu$ $W$ $G$ $\mathbb{R}^n$ $F$ $H_0\colon\{\mu \in U\}$ $U \subset W$

f = ϕ (2 \log \frac{sup_{μ \in W, σ > 0} L (μ, σ | y)}{sup_{μ \in U, σ > 0} L (μ, σ | y)}) .

$f=\phi\left( 2\log \frac{\sup_{\mu \in W, \sigma>0} L(\mu, \sigma | y)}{\sup_{\mu \in U, \sigma>0} L(\mu, \sigma | y)} \right).$ ¿Cómo podemos saber que esta estadística proporciona la prueba más poderosa para (tal vez después de descartar casos particulares inusuales)? Esto no se deriva del teorema de Neyman-Pearson porque este teorema afirma que la prueba de razón de probabilidad es la más poderosa para las hipótesis puntuales y .

H_{0}

$H_0$

H_{0} : {μ = μ_{0}, σ = σ_{0}}

$H_0\colon\{\mu=\mu_0, \sigma=\sigma_0\}$

H_{1} : {μ = μ_{1}, σ = σ_{1}}

$H_1\colon\{\mu=\mu_1,\sigma=\sigma_1\}$

— Stéphane Laurent
fuente

Las familias MLR y el teorema de Karlin-Rubin pueden ser relevantes aquí.

— whuber

Puede reescribir para que tenga una forma como (contra la alternativa de que no es 0). Esencialmente, estará en el subespacio de cociente correspondiente

H_{0} : μ \in U

$H_0: \mu\in U$

H_{0} : δ = 0

$H_0:\delta=\mathbf 0$

δ

$\delta$

W / U

$W/U$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b ¿Y entonces quieres decir que el teorema de Neyman-Pearson proporciona la conclusión?

— Stéphane Laurent

Estoy lejos de ser experto en esta materia, y es probable que haya algo importante que he echado de menos, pero creo que Neyman y Pearson de papel discute las hipótesis que incluyen parámetros no especificados que no sean los de la prueba; Probablemente valga la pena estudiarlo.

— Glen_b -Reinstate Monica

Estimado @ StéphaneLaurent: No podemos saber esto porque no es cierto.

— cardenal

He seguido esta pregunta durante algún tiempo, con la esperanza de que alguien con una visión más profunda de la teoría de pruebas clásica pueda explicar por qué esa prueba no es uniformemente más poderosa en general al igual que @cardinal escribe en un comentario. Según el folklore, las pruebas uniformemente más potentes solo pueden construirse realmente para hipótesis unilaterales sobre parámetros univariados, pero tal comentario realmente no responde a la pregunta. $F$ $-$

El ejemplo 5.5 en Estadística teórica de Cox y Hinkley muestra que la prueba es una prueba similar uniformemente más potente para una media univariada con varianza desconocida. Con una referencia a las técnicas en El análisis de la varianza de Scheffé, el mismo ejemplo afirma que la prueba de una hipótesis sobre un parámetro en el caso multivariante sigue siendo una prueba similar uniformemente más poderosa con los parámetros restantes y la varianza como parámetros molestos. Cuando la codimensión de es 1, la prueba es equivalente a una prueba . $t$ $t$ $U$ $F$ $t$

El ejemplo 5.20, todavía en Cox y Hinkley, considera ANOVA unidireccional. Argumenta que en el caso de al menos tres grupos no existe una prueba similar uniformemente más poderosa de la hipótesis de que no hay diferencias entre los grupos. Esto proporciona los ingredientes para demostrar que la prueba no es uniformemente más potente, ya que para alternativas específicas hay pruebas más potentes . El -test es, sin embargo, el uniformemente más potente invariante prueba. $F$ $t$ $F$

Entonces, ¿qué significa similar e invariante ? Una secuencia anidada de regiones críticas para pruebas de tamaño se llama similar si la probabilidad de rechazar bajo la hipótesis es (para todas las opciones posibles de parámetros molestos). La prueba es invariable si las regiones críticas son invariables bajo un grupo de transformaciones. Para el ANOVA unidireccional, el grupo es un grupo de transformaciones ortogonales. Recomiendo leer el Capítulo 5 en Cox y Hinkley para más detalles. Ver también la Sección 2.10 del libro de Scheffé sobre las propiedades óptimas de la prueba $\alpha \in [0,1]$ $\alpha$ $F$

— NRH
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