ACTUALIZACIÓN 25 de enero de 2014: el error ahora está corregido. Ignore los valores calculados del valor esperado en la imagen cargada, están equivocados, no elimino la imagen porque ha generado una respuesta a esta pregunta.
ACTUALIZACIÓN 10 de enero de 2014: se encontró el error: un error tipográfico matemático en una de las fuentes utilizadas. Preparando corrección ...
La densidad de la estadística de orden mínima de una colección de iid variables aleatorias continuas con cdf y pdf es F X ( x ) f X ( x ) f X ( 1 ) ( x ( 1 ) ) = n f X ( x ( 1 ) ) [ 1 - F X ( x ( 1 ) ) ] n - 1
Si estas variables aleatorias son normales normales, entonces
donde hemos usado las propiedades simétricas de la norma normal. En Owen 1980 , p.402, ecuación [ n, 011 ] encontramos que
Parámetros coincidentes entre las ecuaciones y ( , ) obtenemos
De nuevo en Owen 1980, p. 409, eq [ n0,010.2 ] encontramos que
donde es el estándar multivariado normal, son los coeficientes de correlación por pares y .
Haciendo coincidir y tenemos, , , y
Usando estos resultados, la ecuación convierte en
Esta integral de probabilidad normal estándar multivariada de variables equil correlacionadas, todas evaluadas en cero , ha visto suficiente investigación, y se han derivado varias formas de aproximarla y calcularla. Una revisión extensa (relacionada con el cálculo de integrales de probabilidad normal multivariadas en general) es Gupta (1963) . Gupta proporciona valores explícitos para varios coeficientes de correlación y para hasta 12 variables (por lo que cubre una colección de 14 variables). Los resultados son (LA ÚLTIMA COLUMNA ES INCORRECTA) :
Ahora, si graficamos cómo cambia el valor de con , obtendremos
Entonces llego a mis tres preguntas / solicitudes:
1) ¿Podría alguien verificar analíticamente y / o verificar mediante simulación que los resultados para el valor esperado son correctos (es decir, verificar la validez de la ecuación )?
2) Suponiendo que el enfoque es correcto, ¿alguien podría dar la solución para las normales con una media diferente de cero y una varianza no unitaria? Con todas las transformaciones me siento realmente mareado.
3) El valor de la integral de probabilidad parece evolucionar sin problemas. ¿Qué tal aproximarlo con alguna función de ?