Propiedad de invariancia de MLE: ¿cuál es el MLE de de lo normal, ?

Propiedad de invariancia de MLE: si es el MLE de , entonces, para cualquier función , el MLE de es . $\hat{\theta}$$\theta$$f(\theta)$$f(\theta)$$f(\hat{\theta})$

Además, debe ser una función uno a uno.$f$

El libro dice: "Por ejemplo, para estimar , el cuadrado de una media normal, el mapeo no es uno a uno". Entonces, no podemos usar la propiedad de invariancia.${\theta}^2$

Pero luego, prueba la propiedad y dice: "ahora vemos que MLE de , el cuadrado de una media normal es ".$\theta^2$$\bar{x}^2$

Esto parece contradictorio, estamos cuadrando , pero el cuadrado de cualquier cosa no es uno a uno, ¿qué estoy leyendo mal aquí? ¡Gracias!$\bar{x}$

fuente: Casella & Berger "Inferencia estadística"

Eso no es exactamente lo que dicen Casella y Berger. Reconocen (página 319) que cuando la transformación es individual, la prueba de la propiedad de invariancia es muy simple. Pero luego extienden la propiedad de invariancia a transformaciones arbitrarias de los parámetros que introducen una función de probabilidad inducida en la página 320. El teorema 7.2.10 en la misma página da la prueba de la propiedad extendida. Por lo tanto, no hay contradicción aquí.

De la página 350 de "Probabilidad e inferencia estadística" :