Notación del subíndice en las expectativas

¿Cuál es el significado exacto de la notación de subíndice en las expectativas condicionales en el marco de la teoría de la medida? Estos subíndices no aparecen en la definición de expectativa condicional, pero podemos ver, por ejemplo, en esta página de wikipedia . (Tenga en cuenta que no siempre fue el caso, la misma página hace unos meses). $\mathbb{E}_X[f(X)]$

¿Cuál debería ser, por ejemplo, el significado de con e ? $\mathbb{E}_X[X+Y]$ $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ $Y=X+1$

conditional-expectation notation

— Emile
fuente

Sin duda alguien intervendrá con definiciones formales, informalmente, todas las expectativas son expectativas sobre la distribución de (/ expectativa con respecto a) alguna variable aleatoria (posiblemente multivariante), ya sea que se haya especificado explícitamente o se haya dejado implícito. En muchos casos es obvio ( implica lugar de ). Otras veces, es necesario distinguir; considere la ley de la varianza total, por ejemplo: .

E (X)

$\text{E}(X)$

E_{X} (X)

$\text{E}_X(X)$

E_{W} (X)

$\text{E}_W(X)$

Var [Y] = E_{X} [Var [Y ∣ X]] + {Var}_{X} [E [Y ∣ X]]

$\text{Var}[Y] = \text{E}_X\left[\text{Var}[Y\mid X]\right] + \text{Var}_X\left[\text{E}[Y\mid X]\right]$

— Glen_b

@Glen_b ¿Es realmente necesario especificar en la ley de la varianza total? Como , para algunos , ¿no está claro que está sobre ?

E [Y | X] = f (X)

$E[Y|X]=f(X)$

f

$f$

Var [E [Y | X]]

$\text{Var}[E[Y|X]]$

X

$X$

— Thomas Ahle

@ThomasAhle Tienes toda la razón: "necesario" era una palabra demasiado fuerte para ese ejemplo. Aunque estrictamente hablando, debería ser claro, a menudo es un punto de confusión para los lectores no acostumbrados a trabajar con él, por lo que es común, más que necesario, ser explícito al respecto. Hay algunas expresiones que involucran expectativas en las que no puedes estar seguro sin especificar, pero esa no es realmente una de ellas

— Glen_b

En una expresión donde están involucradas más de una variable aleatoria, el símbolo solo no aclara con respecto a qué variable aleatoria es el valor esperado "tomado". Por ejemplo $E$

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E[h(X,Y)] =\text{?} \int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_X(x)\,dx$ o

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{Y} (y) d y

$E[h(X,Y)] = \text{?} \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_Y(y)\,dy$

Ninguno . Cuando intervienen muchas variables aleatorias y no hay un subíndice en el símbolo , el valor esperado se toma con respecto a su distribución conjunta: $E$

E [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y

$E[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{XY}(x,y) \, dx \, dy$

Cuando hay un subíndice ... en algunos casos nos dice en qué variable debemos condicionar . Entonces

E_{X} [h (X, Y)] = E [h (X, Y) ∣ X] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{h (X, Y) ∣ X} (h (x, y) ∣ x) d h

$E_X[h(X,Y)] = E[h(X,Y)\mid X] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{h(X,Y)\mid X}(h(x,y)\mid x)\,dh$

... Pero en otros casos, nos dice qué densidad usar para el "promedio"

E_{X} [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E_X[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{X}(x) \, dx$

Más bien confuso, diría, pero ¿quién dijo que la notación científica está totalmente libre de ambigüedad o uso múltiple? Debería observar cómo cada autor define el uso de tales símbolos.

— Alecos Papadopoulos
fuente

Tengo dos preguntas. 1) No estoy seguro si entiendo esto correctamente, ¿puedo interpretar la expectativa como una de las dos primeras ecuaciones, si X o Y se han solucionado? 2) ¿Puede dar un ejemplo para EQ 4 y EQ 5? Me cuesta interpretarlos y creo que ejemplos concretos podrían ayudar. ¡Gracias!

— gato de techo

@ceiling cat 1) es correcto porque esencialmente no tiene dos variables aleatorias más. Del mismo modo para fijar a .

E [h (X, \bar{y})] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, \bar{y}) f_{X} (x) d x

$E[h(X,\bar y)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x,\bar y) f_X(x)dx$

X

$X$

\bar{x}

$\bar x$

— Alecos Papadopoulos

@ceiling cat 2) -EQ5: Considere . es una variable aleatoria bien (para un soporte apropiado). Luego, usando el significado específico para la notación de mano corta, donde es la densidad de (lo que sea que sea). Obviamente no está integrado, y permanecerá intacto. Pero el resultado que obtendrás ganó ' t sea un número (como en mi comentario anterior), pero una variable aleatoria (una función de ), ya que aquí no es fijo, simplemente no está integrado

Z = X^{2} (Y - (Y + 2)^{3}) = h (X, Y)

$Z = X^2(Y-(Y+2)^3) = h(X,Y)$

Z

$Z$

E_{X} (Z) = E_{X} [(h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} (y - (y + 2)^{2}) f_{X} (x) d x

$E_X(Z)=E_X[(h(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(y-(y+2)^2) f_{X}(x)dx$

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

X

$X$

Y

$Y$

Y

$Y$

Y

$Y$

— Alecos Papadopoulos

@ceiling cat En ambos casos en mis dos comentarios anteriores, la "mecánica" de los cálculos matemáticos será la misma. Sin embargo, los resultados finales tienen diferentes interpretaciones.

— Alecos Papadopoulos

@ceiling gato 2) -EQ4: Considere la misma variable aleatoria . Su valor esperado condicional en es (usando el otro significado para la notación abreviada) . Tenga en cuenta que aquí las y las no aparecen directamente en el integrando -están "condensadas" en el símbolo .

Z

$Z$

X

$X$

E_{X} [Z] = E (Z ∣ X) = \int_{- \infty}^{\infty} z f_{Z | X} (z ∣ x) d z

$E_X[Z] = E(Z\mid X) = \int_{-\infty}^{\infty} z f_{Z|X}(z\mid x)dz$

x

$x$

y

$y$

z

$z$

— Alecos Papadopoulos