¿Cuándo está la función de distribución binomial arriba / debajo de su función de distribución de Poisson limitante?

Sea $B(n,p,r)$ la función de distribución binomial (DF) con los parámetros $n \in \mathbb N$ y $p \in (0,1)$ evaluados en $r \in \{0,1,\ldots,n\}$ : y deje denote el Poisson DF con el parámetro evaluado en :

B (n, p, r) = \sum_{i = 0}^{r} (\binom{n}{i}) p^{i} (1 - p)^{n - i},

$\begin{equation} B(n,p,r) = \sum_{i=0}^r \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \end{equation}$

F (ν, r)

$F(\nu,r)$

a \in R^{+}

$a \in \mathbb R^+$

r \in {0, 1, 2, \dots}

$r \in \{0,1,2,\ldots\}$

F (a, r) = e^{- a} \sum_{i = 0}^{r} \frac{a^{i}}{i!} .

$\begin{equation} F(a,r) = e^{-a} \sum_{i=0}^r \frac{a^i}{i!}. \end{equation}$

Considere $p \rightarrow 0$ , y deje que $n$ se defina como $\lceil a/p-d \rceil$ , donde $d$ es una constante del orden de $1$ . Como $np \rightarrow a$ , la función $B(n,p,r)$ converge a $F(a,r)$ para todo $r$ , como es bien sabido.

Con la definición anterior para $n$ , estoy interesado en determinar los valores de $a$ para los cuales

B (n, p, r) > F (a, r) \forall p \in (0, 1),

$\begin{equation} B(n,p,r) > F(a,r) \quad \forall p \in (0,1), \end{equation}$ y de manera similar aquellos para los que

B (n, p, r) < F (a, r) \forall p \in (0, 1) .

$\begin{equation} B(n,p,r) < F(a,r) \quad \forall p \in (0,1). \end{equation}$ He podido demostrar que la primera desigualdad es válida para

a

$a$ suficientemente menor que

r

$r$ ; más específicamente, para

a

$a$ límite inferior a cierto

g (r)

$g(r)$ , con

g (r) < r

$g(r)<r$ . Del mismo modo, la segunda desigualdad se cumple para

a

$a$ suficientemente mayor que

r

$r$ , es decir, para

a

$a$ mayor que cierto límite

h (r)

$h(r)$ , con

h (r) > r

$h(r)>r$ . (Las expresiones de los límites

g (r)

$g(r)$ y

h (r)

$h(r)$ son irrelevantes aquí. Proporcionaré los detalles a cualquier persona interesada). Sin embargo, los resultados numéricos sugieren que esas desigualdades son válidas para límites menos estrictos, es decir, para

a

$a$ acercamiento a

r

$r$ de lo que puedo probar.

Entonces, me gustaría saber si hay algún teorema o resultado que establezca bajo qué condiciones se cumple cada desigualdad (para todo $p$ ); es decir, cuando se garantiza que el binomio DF estará por encima / debajo de su límite de Poisson DF. Si tal teorema no existe, cualquier idea o puntero en la dirección correcta sería apreciada.

Tenga en cuenta que una pregunta similar, redactada en términos de funciones beta y gamma incompletas, se publicó en math.stackexchange.com pero no obtuvo respuesta.

— Luis Mendo
fuente

Esta es una pregunta interesante, aunque creo que ayudaría a aclarar algunas cosas, particularmente cuáles son las "partes móviles" y cuáles no. Parece que desea un límite que se mantenga uniformemente en

para cada

fija . Pero, ¿cuál es el papel de

aquí? No debería importar mucho, pero ¿es necesaria su presentación? Un enfoque podría ser mirar las cosas en términos de tiempos de espera de un proceso de Poisson y acoplarlas a los tiempos de espera geométricos asociados (tomando el límite máximo de cada uno) para su variable aleatoria binomial. Pero eso podría no producir el uniforme que estás buscando.

p

$p$

r

$r$

d

$d$

— Cardenal

@cardinal Gracias por tomarse el tiempo. Sí, quiero que el límite sea uniforme en p. Todos los demás parámetros son fijos (pero seleccionables).

es solo uno de esos parámetros libres. Por ejemplo, un resultado hipotético podría ser el siguiente: "Para cualquier

naturalmayor que

y cualquier

, la primera desigualdad se cumple para todos

d

$d$

r

$r$

2

$2$

d \in (- 1, 1)

$d \in (-1,1)$

y para todo

; y el segundo vale para todos

a < r - \sqrt{r}

$a < r - \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

y para todo

a > r + \sqrt{r}

$a > r + \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

— Luis Mendo

Existe una teoría de Stein Chen que estima los errores cuando se usa poisson rv para estimar la suma de variables bernoulli independientes no necesarias. No estoy seguro de tu pregunta, tú.

— Perdido1

Para

finito , la distribución binomial ha cerrado el soporte desde arriba. Su tamaño puede ser seleccionable (eligiendo

) pero está cerrado. Por otro lado, la distribución de Poisson tiene un soporte ilimitado. Como estamos viendo los CDF, para cualquier

finito siempre tendremos

n

$n$

n

$n$

n

$n$

para cualquier valor permisible de

. Entonces, las condiciones para la segunda desigualdad que busca el OP siempre incluirán, al menos, "para

B (n, p, r = n) = 1 > F (a, n)

$B(n,p,r=n) = 1 > F(a,n)$

p, a

$p,a$

... "

r < n

$r<n$

— Alecos Papadopoulos

Vea la respuesta de Did aquí: math.stackexchange.com/questions/37018/…

— Alex R.

Con respecto a lo siguiente:

la media de un dist binomial es $np$
la varianza es $np(1-p)$
la media de un dist de Poisson es , que podemos imaginar como $\lambda$ $n\times p$
la varianza de un Poisson es la misma que la media

Ahora, si un Poisson es el límite de un Binomial con los parámetros y , de modo que aumenta hasta el infinito y disminuye a cero mientras su producto permanece constante, suponiendo que y no converjan a sus límites respectivos, la expresión es siempre mayor que , por lo tanto, la varianza de Binomial es menor que la de Poisson. Eso implicaría que el Binomial está abajo en las colas y arriba en otra parte. $n$ $p$ $n$ $p$ $n$ $p$ $np$ $np(1-p)$

— Germaniawerks
fuente

Gracias por tu contribución. Sin embargo, me parece que no aborda la pregunta, porque (1) el OP está interesado en el CDF, no en el PDF. (2) Pide una respuesta cuantitativa.

— whuber