Límites de cola en la norma euclidiana para una distribución uniforme en

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Lo que se conoce como límites superiores con qué frecuencia la norma euclidiana de un elemento uniformemente elegido de será mayor que un umbral dado? $\:\{-n,~-(n-1),~...,~n-1,~n\}^d\:$

Me interesan principalmente los límites que convergen exponencialmente a cero cuando es mucho menor que . $n$ $d$

uniform extreme-value bounds

— Ricky Demer
fuente

Esto es fácil de responder para umbrales solo está calculando volúmenes de hiperesferas, pero es más difícil de calcular para . ¿Estás en alguna de esas situaciones?

t \leq n

$t\le n$

t > n

$t \gt n$

— whuber

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Necesitaría.

t > n

$\: t > n \;\;$

$\;\;\;\;$

— Ricky Demer

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No tengo tiempo para publicar una respuesta detallada en este momento, pero aquí hay una pista mientras tanto: Compare con una variable aleatoria binomial con la misma media empleando la técnica de enlace estándar de Chernoff. Esto dará lugar a un salto de la forma para la adecuada y proporcionada que tiene sentido una vez que se piensa en lo que la media de la distancia al cuadrado euclidiana es. Espero que ayude un poco.

\sum_{k} (X_{k} / n)^{2}

$\sum_k (X_k/n)^2$

a^{d} e^{- b t^{2}}

$a^d e^{-b t^2}$

a

$a$

b

$b$

t > n \sqrt{d (n + 1) / 3 n}

$t > n \sqrt{d (n+1)/3n}$

— Cardenal

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Intuitivamente, debería ser obvio que un punto cuyas coordenadas se muestrean al azar de la distribución uniforme debe tener un módulo pequeño debido a la maldición de la dimensionalidad. A medida que aumenta, la probabilidad de que un punto muestreado al azar del volumen de la bola de la unidad dimensional tenga una distancia menor o igual a desde el centro es , que cae exponencialmente rápido. $d$ $d$ $\epsilon$ $\epsilon^{d}$

Daré la versión completa de la solución de Cardinal.

Sea una copia independiente de una distribución discreta y uniforme sobre los enteros . Claramente, , y se calcula fácilmente que $X_i$ $-n \leqslant k \leqslant n$ $\mathbb{E}[X] = 0$ $\text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

Recuerde que y que $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) + \mathbb{E}[X_i]^2$ $\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2$

Por lo tanto, $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2 = \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 1)}{15} - \left( \frac{n(n+1)}{3} \right)^2$

$\mathbb{E}[X_i^4]$ cálculo

Deje $Y_i = X_i^2$

\sum_{i = 1}^{d} Y_{i} = (Distance of Randomly Sampled Point to Origin)^{2}

$\sum_{i=1}^d Y_i = (\text{Distance of Randomly Sampled Point to Origin})^2$

Terminaré esto mañana, pero puedes ver que esta variable tiene una media de aproximadamente , mientras que menos de fracción de puntos tiene distancias menos de la mitad de la distancia máxima $\frac{n^2}{3}$ $2^{-d}$ $\frac{dn^2}{2}$

— Michael K
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Si todas las siguen uniformes discretos independientes sobre , entonces como hay para elegir y su media es 0, tenemos para todo : $X_i$ $[-n, n]$ $2n+1$ $i$

$\mathbb{E}(X_i)= 0$ , y

$\mathbb{V}(X_i)= \mathbb{E}\left((X_i - \mathbb{E}(X_i))^2\right)= \mathbb{E}(X_i^2)= \frac{(2n+1)^2 - 1}{12}= \frac{n(n+1)}{3}$

Entonces, si es la norma euclidiana al cuadrado del vector , y debido a la independencia de : $S$ $(X_1, X_2, ... X_d)$ $X_i$

$S= \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S)= \sum_{i=1}^d \mathbb{E}(X_i^2) = d \frac{n(n+1)}{3}$

De aquí en adelante, podría usar la desigualdad de Markov: $\forall a >0, \mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{1}{a}\mathbb{E}(S)$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{d}{a}\frac{n(n+1)}{3}$

Este límite aumenta con , lo cual es normal porque cuando hace más grande, la norma euclidiana se hace más grande en comparación con un umbral fijo . $d$ $d$ $a$

Ahora, si define como una norma al cuadrado "normalizada" (que tiene el mismo valor esperado, no importa cuán grande ) obtenga: $S^*$ $d$

$S^*= \frac{1}{d} Y = \frac{1}{d} \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S^*) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{n(n+1)}{3a}$

¡Al menos este límite no aumenta con , pero aún está lejos de resolver su búsqueda de un límite decreciente exponencialmente! Me pregunto si esto puede deberse a la debilidad de la desigualdad de Markov ... $d$

Creo que debe precisar su pregunta, porque como se indicó anteriormente, la norma euclidiana media de sus vectores aumenta linealmente en , por lo que es muy poco probable que encuentre un límite superior para que esté disminuyendo en con un umbral fijo . $d$ $\mathbb{P}(S > a)$ $d$ $a$

— jubo
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