¿Cómo puedo calcular


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Supongamos que y son función de densidad y función de distribución de la distribución normal estándar.ϕ()Φ()

¿Cómo se puede calcular la integral?

Φ(wab)ϕ(w)dw

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Todo esta bien. Una referencia temprana a un resultado más general que incluye este es Ellison (1964, J.Am.Stat.Assoc, 59, 89-95); vea el Corolario 1 del Teorema 2.

Respuestas:


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Una notación más convencional es

y(μ,σ)=Φ(xμσ)ϕ(x)dx=Φ(μ1+σ2).

Esto se puede encontrar al diferenciar la integral con respecto a y , produciendo integrales elementales que se pueden expresar en forma cerrada:μσ

yμ(μ,σ)=12πσ2+1e12μ2σ2+1,

yσ(μ,σ)=μσ2π(σ2+1)3/2e12μ2σ2+1.

Este sistema puede integrarse, comenzando con la condición inicial = = , para obtener la solución dada (que se verifica fácilmente por diferenciación).Phi ( x ) φ ( x ) d x 1 / 2y(0,1)Φ(x)ϕ(x)dx1/2


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Verifiqué la respuesta a través de la integración numérica y contorneé las proporciones para , : el acuerdo fue con once cifras significativas en todo este rango. 0 < σ 22μ20<σ2
whuber

wow, solución inteligente.
Cam.Davidson.Pilon

2
Creo que esto se puede hacer casi por inspección. El primer término debajo de la integral es una variable aleatoria uniforme [0,1]. Desde el pdf normal es simétrica, la integral debe ser12
soakley

1
@soakley Su enfoque funciona para , pero no está claro cómo se aplicaría a otros argumentos de . yy(0,1)y
whuber

1
@whuber Perdón por no entenderlo, pero una vez que tenemos las dos formas cerradas para la derivada y la condición inicial, ¿cómo pasamos de allí a la solución final? En otras palabras, ¿qué hiciste con las expresiones de forma cerrada para las derivadas y la condición inicial?
user106860

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Deje e ser variables aleatorias normales independientes con e una variable aleatoria normal estándar. Entonces,Entonces, usando la ley de probabilidad total, obtenemos que Ahora, se puede expresar en términos de al señalar que , y así obtenemos Y X N ( a , b 2 ) Y P { X Y Y = w } = P { X w } = Φ ( w - aXYXN(a,b2)YP{X

P{XYY=w}=P{Xw}=Φ(wab).
P { X Y } = P { X - Y 0 } Φ ( ) X - Y N ( a , b 2 + 1 ) - Φ ( w - a
P{XY}=P{XYY=w}ϕ(w)dw=Φ(wab)ϕ(w)dw.
P{XY}=P{XY0}Φ()XYN(a,b2+1)
Φ(wab)ϕ(w)dw=Φ(ab2+1)
que es lo mismo que el resultado en la respuesta de whuber.

2

Aquí hay otra solución: definimos que podemos evaluar para obtener nuestra expresión deseada. Conocemos al menos un valor de función de , por ejemplo, debido a la simetría. Llevamos la derivada wrt a y completa el cuadrado

I(γ)=Φ(ξx+γ)N(x|0,σ2)dx,
γ=ξμI(γ)I(0)=0γ
reyoreγ=-norte((ξX+γ)El |0 0,1)norte(XEl |0 0,σ2)reX=-12πexp(-12(ξX+γ)2)12πσ2exp(-X22σ2)reX.
(ξX+γ)2+X2σ2=(ξ2+σ-2)=unaX2+-2γξ=siX+γ2=do=una(X-si2una)2+(do-si24 4una)(do-si24 4una)=γ2-4 4γ2ξ24 4(ξ2+σ-2)=γ2(1-ξ2ξ2+σ-2)=γ2(11+ξ2σ2)
Por lo tanto,
reyoreγ=12πσexp(-12(do-si24 4una))2πuna-una2πexp(-12una(X-si2una)2)reX=12πσexp(-12(do-si24 4una))2πuna=12πσ2unaexp(-12(do-si24 4una))=12π(1+σ2ξ2)exp(-12γ21+ξ2σ2)
y los rendimientos de integración

yo(γ)=-γ12π(1+σ2ξ2)exp(-12z21+ξ2σ2)rez=Φ(γ1+ξ2σ2)

lo que implica

-Φ(ξX)norte(XEl |μ,σ2)reX=yo(ξμ)=Φ(ξμ1+ξ2σ2).

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