Supongamos que y son función de densidad y función de distribución de la distribución normal estándar.
¿Cómo se puede calcular la integral?
Supongamos que y son función de densidad y función de distribución de la distribución normal estándar.
¿Cómo se puede calcular la integral?
Respuestas:
Una notación más convencional es
Esto se puede encontrar al diferenciar la integral con respecto a y , produciendo integrales elementales que se pueden expresar en forma cerrada:
Este sistema puede integrarse, comenzando con la condición inicial = = , para obtener la solución dada (que se verifica fácilmente por diferenciación).∫ Phi ( x ) φ ( x ) d x 1 / 2
Deje e ser variables aleatorias normales independientes con e una variable aleatoria normal estándar. Entonces,Entonces, usando la ley de probabilidad total, obtenemos que Ahora, se puede expresar en términos de al señalar que , y así obtenemos Y X ∼ N ( a , b 2 ) Y P { X ≤ Y ∣ Y = w } = P { X ≤ w } = Φ ( w - aP{X
Aquí hay otra solución: definimos
que podemos evaluar para obtener nuestra expresión deseada. Conocemos al menos un valor de función de , por ejemplo,
debido a la simetría. Llevamos la derivada wrt a
y completa el cuadrado
lo que implica