¿Por qué la probabilidad es cero para cualquier valor dado de una distribución normal?

Noté que en la distribución Normal, la probabilidad es igual a cero, mientras que para la distribución de Poisson, no será igual a cero cuando es un número entero no negativo. $P(x=c)$ $c$

Mi pregunta es: ¿la probabilidad de cualquier constante en la distribución normal es igual a cero porque representa el área bajo cualquier curva? ¿O es solo una regla para memorizar?

probability normal-distribution poisson-distribution

— Psico 4 Física
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distribución continua vs discreta

— Glen_b -Reinstalar Monica

Muy estrechamente relacionado (pregunta ligeramente diferente, esencialmente la misma respuesta): stats.stackexchange.com/questions/4220 .

— whuber

Nada que valga la pena saber es solo una "regla para memorizar".

— Matthew Drury

Quizás el siguiente experimento mental lo ayude a comprender mejor por qué la probabilidad es cero en una distribución continua: Imagine que tiene una rueda de la fortuna . Normalmente, la rueda está dividida en varios sectores discretos, quizás unos 20. Si todos los sectores tienen la misma área, que tendría una probabilidad de para golpear un sector específico (por ejemplo, el precio principal). La suma de todas las probabilidades es 1, porque . Más general: si hay $Pr(X=a)$ $1/20$ $20\cdot 1/20 = 1$ $m$ sectores distribuidos uniformemente en la rueda, cada sector tiene una probabilidad de de ser golpeado (probabilidades uniformes). Pero, ¿qué sucede si decidimos dividir la rueda en un millón de sectores? Ahora la probabilidad de golpear uno sectores específicos (el premio principal), es extremadamente pequeño: . Además, tenga en cuenta que el puntero teóricamente puede detenerse en un número infinito de posiciones de la rueda. Si quisiéramos hacer un premio por separado para cada posible punto de parada, tendríamos que dividir la rueda en un número infinito de "sectores" de igual área (pero cada uno de ellos tendría un área de 0). Pero, ¿qué probabilidad deberíamos asignar a cada uno de estos "sectores"? Se debe ser cero $1/m$ $1/10^{6}$ porque si las probabilidades para cada "sector" fueran positivas e iguales, la suma de infinitos números positivos iguales diverge, lo que crea una contradicción (la probabilidad total debe ser 1). Es por eso que solo podemos asignar una probabilidad a un intervalo , a un área real en la rueda.

Más técnico: en una distribución continua (por ejemplo, continua uniforme , normal y otras ), la probabilidad se calcula por integración, como un área bajo la función de densidad de probabilidad (con ): Pero el área de un intervalo de longitud 0 es 0. $f(x)$ $a\leq b$

PAG (un \leq X \leq si) = \int_{un}^{si} F (X) re X

$P(a\leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$

Vea este documento para la analogía de la rueda de la fortuna.

La distribución de Poisson, por otro lado, es una distribución de probabilidad discreta. Una variable aleatoria de Poisson solo puede tomar valores discretos (es decir, el número de hijos para una familia no puede ser 1.25). La probabilidad de que una familia tenga exactamente 1 hijo ciertamente no es cero, pero es positiva. La suma de todas las probabilidades para todos los valores debe ser 1. Otras distribuciones discretas famosas son: binomial , binomial negativo , geométrico , hipergeométrico y muchos otros .

— COOLSerdash
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Este argumento falla en un punto crucial: no siempre es el caso que "la suma de un número infinito de números positivos es infinita". ¡La secuencia de probabilidades de Poisson es un contraejemplo! Puede arreglar esto mediante una calificación adecuada, como señalar que la suma de infinitos números positivos , por pequeños que sean, diverge.

— whuber

@whuber Creo que a eso me refería cuando escribí la respuesta, pero no pude formularla correctamente. Gracias por el aviso. Espero que sea correcto ahora.

— COOLSerdash

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@whuber Ahora estoy confundido. Esa es exactamente la formulación que sugirió que agregue en su primer comentario: "[...] como señalar que la suma de infinitos números positivos, no importa cuán pequeños puedan ser, diverge"

— COOLSerdash

@whuber Bien, ahora está completamente claro. Agregué la calificación a mi respuesta. Gracias de nuevo por señalarlo.

— COOLSerdash

"Las probabilidades de variables aleatorias continuas (X) se definen como el área bajo la curva de su PDF. Por lo tanto, solo los rangos de valores pueden tener una probabilidad distinta de cero. La probabilidad de que una variable aleatoria continua sea igual a algún valor siempre es cero". página de referencia: http://support.minitab.com/en-us/minitab-express/1/help-and-how-to/basic-statistics/probability-distributions/supporting-topics/basics/continuous-and-discrete -distribuciones de probabilidad/

— Rui HUANG
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