¿Son la prueba t y ANOVA unidireccional ambas pruebas de Wald?

Se dice que la prueba t para probar si la media de una muestra distribuida normalmente es igual a una constante es una prueba de Wald, al estimar la desviación estándar de la media muestral mediante la información del pescador de la distribución normal en la media muestral. Pero la estadística de la prueba en la prueba t tiene una distribución t de Student, mientras que la estadística de la prueba en una prueba de Wald asintóticamente tiene una distribución chi-cuadrado. Me pregunto cómo explicar eso?

En ANOVA unidireccional, el estadístico de prueba se define como la relación entre la varianza entre clases y la varianza dentro de clase. Me preguntaba si también es una prueba de Wald? Pero el estadístico de prueba en ANOVA unidireccional tiene una distribución F, y el estadístico de prueba en una prueba de Wald asintóticamente tiene una distribución de chi-cuadrado. Me pregunto cómo explicar eso?

¡Gracias y saludos!

Considere la siguiente configuración. Tenemos un vector de parámetro dimensional que especifica completamente el modelo y un estimador de máxima verosimilitud . La información de Fisher en se denota como . Lo que generalmente se conoce como la estadística de Wald es$p$$\theta$$\hat{\theta}$$\theta$$I(\theta)$

$$(\hat{\theta} - \theta)^T I(\hat{\theta}) (\hat{\theta} - \theta)$$

donde es la información de Fisher evaluada en el estimador de máxima verosimilitud. Bajo condiciones de regularidad, la estadística de Wald sigue asintóticamente una con grados de libertad cuando es el parámetro verdadero. La estadística de Wald se puede usar para probar una hipótesis simple en todo el vector de parámetros.$I(\hat{\theta})$$\chi^2$$p$$\theta$$H_0 : \theta = \theta_0$

Con la información inversa de Fisher, la estadística de prueba de Wald de la hipótesis es Su distribución asintótica es una con 1 grado de libertad.$\Sigma(\theta) = I(\theta)^{-1}$$H_0 : \theta_1 = \theta_{0,1}$

$$\frac{(\hat{\theta}_1 - \theta_{0,1})^2}{\Sigma(\hat{\theta})_{ii}}.$$ $\chi^2$

Para el modelo normal donde es el vector de la media y los parámetros de varianza, la estadística de prueba de Wald de probar si es con el tamaño de la muestra. Aquí es el estimador de máxima verosimilitud de (donde se divide por ). El estadístico test es donde es el estimador imparcial de la varianza (donde se divide por el ) . El estadístico de prueba de Wald es casi pero no exactamente igual al cuadrado de la$\theta = (\mu, \sigma^2)$$\mu = \mu_0$

$$\frac{n(\hat{\mu} - \mu_0)^2}{\hat{\sigma}^2}$$ $n$$\hat{\sigma}^2$$\sigma^2$$n$$t$ $$\frac{\sqrt{n}(\hat{\mu} - \mu_0)}{s}$$ $s^2$$n-1$$t$-test estadística, pero son asintóticamente equivalentes cuando . La estadística de prueba cuadrada tiene una exacta , que converge a la con 1 grados de libertad para .$n \to \infty$$t$$F(1, n-1)$$\chi^2$$n \to \infty$

Lo mismo ocurre con la prueba en ANOVA unidireccional.$F$

@NRH dio una buena respuesta teórica, aquí hay una que pretende ser más simple, más intuitiva.

Existe la prueba formal de Wald (descrita en la respuesta de NRH), pero también nos referimos a las pruebas que analizan la diferencia entre un parámetro estimado y su valor hipotético en relación con la variación estimada en el parámetro estimado como una prueba de estilo Wald. Entonces, la prueba t, como la usamos habitualmente, es una prueba de estilo Wald, incluso si es ligeramente diferente de la prueba exacta de Wald (una diferencia de vs.$n$$n-1$dentro de una raíz cuadrada). Incluso podríamos diseñar una prueba de estilo Wald basada en una mediana estimada menos la mediana hipotética dividida por una función del IQR, pero no sé qué distribución seguiría, sería mejor usar un bootstrap, permutación o simulación distribución para esta prueba en lugar de depender de las asintóticas de chi-cuadrado. La prueba F para ANOVA también se ajusta al patrón general, se puede considerar que el numerador mide la diferencia de las medias de una media general y el denominador es una medida de la variación.

También tenga en cuenta que si eleva al cuadrado una variable aleatoria que sigue a la distribución, seguirá una distribución F con 1 df para el numerador y el denominador df serán los de la distribución t. También tenga en cuenta que una distribución F con denominador infinito df es una distribución chi-cuadrado. Entonces eso significa que tanto el estadístico t (cuadrado) como el estadístico F son asintóticamente chi-cuadrado al igual que el estadístico de Wald. Solo usamos la distribución más exacta en la práctica.