Relación entre la suma de lo normal y la suma de los cubos de lo normal

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Ayúdame a encontrar la distribución limitante (como ) de lo siguiente: donde son iid . $n \rightarrow \infty$

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{X_{1}^{3} + X_{2}^{3} + \dots X_{n}^{3}},

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{X_1^3 + X_2^3 + \ldots X_n^3},$

X_{i}

$X_i$

N (0, 1)

$N(0,1)$

distributions normal-distribution asymptotics

— Arunangshu Biswas
fuente

1

¿Has intentado mirar transformaciones de variables aleatorias? Por ejemplo, uno podría probar funciones características, transformadas de Laplace-Stieltjes, etc.

— Stijn

1

Sugerencia: el numerador y el denominador son asintóticamente bivariados normales. Puede calcular sus momentos directamente: sus medias son obviamente cero, la varianza del numerador es , la varianza del denominador es y la covarianza es . (Por lo tanto, la correlación es .) Para encontrar la distribución limitante, exprese cualquier bivariado normal de media cero en la forma para cero independiente -medias normales y y constante , luego tenga en cuenta que la relación es una distribución de Cauchy escalada desplazada.

n

$n$

15 n

$15n$

3 n

$3n$

3 / \sqrt{15} \approx 0.775

$3/\sqrt{15} \approx 0.775$

(U, V)

$(U,V)$

(A, β A + B)

$(A, \beta A + B)$

A

$A$

B

$B$

β

$\beta$

V / U = β + B / A

$V/U = \beta + B/A$

— whuber

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Si la formulación fuera dondeeson independientes, sería un ejercicio clásico de libro de texto. Usas el hecho de que

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{Y_{1}^{3} + Y_{2}^{3} + \dots Y_{n}^{3}}

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{Y_1^3 + Y_2^3 + \ldots Y_n^3}$

X_{i} \sim N (0, 1)

$X_i\sim N(0,1)$

Y_{i} \sim N (0, 1)

$Y_i \sim N(0,1)$

y podemos concluir que

asíntotas a la distribución de Cauchy escalada.

F_{n} \overset{d}{\to} F, G_{n} \overset{d}{\to} G \Rightarrow \frac{F_{n}}{G_{n}} \overset{d}{\to} \frac{F}{G}

$F_n \stackrel{d}{\to} F,\quad G_n \stackrel{d}{\to}G \Rightarrow \frac{F_n}{G_n} \stackrel{d}{\to} \frac{F}{G}$

U

$U$

Pero en su formulación, no podemos aplicar el teorema debido a la dependencia. Mi Montecarlo sugiere que la distribución límite de no es degenerada y no tiene primer momento y no es simétrica. Me interesaría si existe una solución explícita a este problema. Siento que la solución solo se puede escribir en términos del proceso de Wiener. $U_n$

[EDITAR] Siguiendo la pista de Whuber, tenga en cuenta que

(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}, \frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}^{3}) \overset{d}{\to} (Z_{1}, Z_{2})

$(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i},\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i^3})\stackrel{d}{\to}(Z_1,Z_2)$

(Z_{1}, Z_{2}) \sim N (0, (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 15 \end{matrix}))

$(Z_1,Z_2) \sim N(0,\pmatrix{1 &3 \\3 &15})$

E [X_{1}^{4}] = 3

$E[X_1^4]=3$

E [X_{1}^{6}] = 15

$E[X_1^6]=15$

(n - 1)!!

$(n-1)!!$

n

$n$

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{Z_{1}}{Z_{2}}

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{Z_1}{Z_2}$

Z_{1} = \frac{1}{5} Z_{2} + \sqrt{\frac{2}{5}} Z_{3}

$Z_1 = \frac{1}{5}Z_2+\sqrt{\frac{2}{5}}Z_3$

Z_{3} \sim N (0, 1)

$Z_3\sim N(0,1)$

Z_{2}

$Z_2$

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{5}} \frac{Z_{3}}{Z_{2}} \equiv \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{75}} Γ

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{5}}\frac{Z_3}{Z_2} \equiv \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{75}}\Gamma$

Γ \sim C a u c h y

$\Gamma \sim Cauchy$

— Julius
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$X_i$ $X_i^3$ $Z$ $1/X$ He oído que las razones o inversas de variables aleatorias a menudo son problemáticas, al no tener expectativas. ¿Porqué es eso? ) Pero aquí, hay una dependencia entre el numerador y el denominador que complica el asunto ... (Claramente necesita más reflexión aquí).

$x_i^3$

— kjetil b halvorsen
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