¿Cuál es el significado del superíndice en y ?

En el contexto de la inferencia basada en la probabilidad, he visto alguna notación sobre los parámetros de interés que he encontrado un poco confusa.

Por ejemplo, notación como y . $p_{\theta}(x)$ ${\mathbb E}_{\theta}\left[S(\theta)\right]$

¿Cuál es el significado del parámetro ( ) en la notación de subíndice anterior? En otras palabras, ¿cómo debería leerse? $\theta$

Mi primera suposición fue que simplemente significaba "con el parámetro "; por ejemplo, para , se leería: $\theta$ $p_{\theta}(x)$

"La densidad de probabilidad de con el parámetro ". $x$ $\theta$

Sin embargo, esto probablemente no sea correcto porque y, en general, no es una distribución (es decir, no se integra a la unidad); por lo tanto, no puede ser una densidad, ¿verdad? $p_{\theta}(x) = L(\theta)$ $L(\theta)$

Además, en el caso de , no estoy seguro de qué cambia en relación con (es decir, con el subíndice omitido). ${\mathbb E}_{\theta}\left[S(\theta)\right]$ ${\mathbb E}\left[(S(\theta)\right]$ $\theta$

En lo anterior, $S(\theta)$ y $L(\theta)$ significan la función de puntuación y la función de probabilidad, respectivamente.

— Hugo
fuente

p_{θ}

$p_\theta$ es una probabilidad (o densidad) para cada

θ

$\theta$ , lo que no implica que la probabilidad sea una función de densidad en función de

θ

$\theta$ .

— Stéphane Laurent

¡Gracias por su respuesta! Entonces, ? A partir de esto, puedo suponer que: Y también que refiere a la expectativa de para cada tal que:

p_{θ} (x) is equivalent to p (x; θ)

$p_{\theta}(x) \text{ is equivalent to } p(x;\theta)$

p_{θ} (x) = L (θ) but \int p_{θ} (x) d x = 1 \neq \int L (θ) d θ

$p_{\theta}(x) = L(\theta) \text{ but } \int p_{\theta}(x) dx = 1 \neq \int L(\theta) d\theta$

E_{θ} (f (x))

${\mathbb E}_{\theta}(f(x))$

x

$x$

θ

$\theta$

E_{θ} (f (x)) = \int f (x) p_{θ} (x) d x

${\mathbb E}_{\theta}(f(x)) = \int f(x)p_{\theta}(x)dx$

— Hugo

Por lo general, la notación representa una expectativa con respecto a la variable aleatoria ; Si se encuentra en una situación en la que tiene sentido considerar como una variable aleatoria (como un contexto bayesiano), esa sería la intención. Si estás no en una situación en la que podría ser considerada como una variable aleatoria, @ comentario de Hugo sería el ser significa que me vería en la próxima.

E_{X} ()

$\text{E}_X()$

X

$X$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— Glen_b -Reinstale a Monica

@ Hugo Sí, lo entiendes. Rigurosamente siempre hay que denota la expectativa , donde es la probabilidad subyacente pero esto es inútil cuando sólo hay un . Aquí es un atajo para . La notación mencionada por Geln_b es apropiada para otros contextos, pero generalmente no me gusta esta notación.

E_{P}

$\mathbb{E}_{P}$

P

$P$

P

$P$

E_{θ}

$\mathbb{E}_\theta$

E_{p_{θ}}

$\mathbb{E}_{p_{\theta}}$

E_{X}

$\mathbb{E}_X$

— Stéphane Laurent

Esto se responde principalmente en comentarios que resumiré aquí.

$p_\theta(x)$ significa lo mismo que , es una abreviatura. Esta es una densidad con respecto a , no con respecto a . Entonces, por necesidad no se sigue que , podría ser cualquier cosa, incluso . $p(x; \theta)$ $x$ $\theta$ $\int p(x;\theta)\; dx = 1$ $\int p(x;\theta)\; d\theta=1$ $\infty$

Entonces, es la expectativa de con respecto a la distribución . El subíndice está ahí para mayor claridad, no porque sea necesario, por lo que tiene el mismo significado. La distribución con respecto a la cual calculamos la expectativa debería ser claro desde el contexto, o indicado de alguna manera (como por un subíndice). ${\mathbb E}_{\theta}\left[S(\theta)\right]$ $S(\theta)$ $p_\theta(x)$ $\theta$ ${\mathbb E}\left[(S(\theta)\right]$

— kjetil b halvorsen
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