Valor esperado y varianza de log (a)

Tengo una variable aleatoria donde a es normal distribuido . ¿Qué puedo decir sobre y ? Una aproximación también sería útil. $X(a) = \log(a)$ $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ $E(X)$ $Var(X)$

— Rockportrocker
fuente

Creo que la pregunta era sobre el "inverso" del log-normal, es decir, cuando un rv A normal conduce a log-normal X = exp (A), el interrogador preguntaba sobre la distribución de X = log (A), que no está definido (debido a que a veces se requiere el registro de un número negativo). Puede haber algunos resultados para una normal truncada, pero es probable que sean desordenados.

— Martin O'Leary

Rocksportrocker, como señala @Martin O'Leary, no es matemáticamente posible tener tal variable , porque no está definida para valores negativos. Como mínimo, debe truncar valor no negativo. ¿Podría decirnos por qué cree que podría ser Normal?

X

$X$

\log (a)

$\log(a)$

a

$a$

a

$a$

— whuber

Si consideramos la "aproximación" en un sentido bastante general, podemos llegar a alguna parte.

Tenemos que asumir que no tenemos una distribución normal real, sino algo que es aproximadamente normal, excepto que la densidad no puede ser distinta de cero en una vecindad de 0.

Así que digamos que es "aproximadamente normal" (y se concentraron cerca de la * media) en un sentido que podemos HandWave lejos de las preocupaciones sobre aproximándose 0 (y su consiguiente impacto en los momentos de , debido a doesn 't' bajar cerca de 0 '), pero con los mismos momentos de bajo orden que la distribución normal especificada, entonces podríamos usar series de Taylor para aproximar los momentos de la variable aleatoria transformada . $a$ $a$ $\log(a)$ $a$

Para alguna transformación , esto implica expandir como una serie de Taylor (piense en donde toma el papel de ' ' y toma el papel de ' ') y luego tomar expectativas y luego calcular la varianza o la expectativa del cuadrado de la expansión (de la cual se puede obtener la varianza). $g(X)$ $g(\mu_X + X-\mu_X)$ $g(x+h)$ $\mu_X$ $x$ $X-\mu_X$ $h$

La expectativa y la varianza aproximadas resultantes son:

y $\text{E}\left[g(X)\right]\approx g(\mu_X) +\frac{g''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

$\text{Var}\left[g(X)\right]\approx \left(g'(\mu_X)\right)^2\sigma^2_X$

y así (si no cometí ningún error), cuando : $g() = \log()$

mi [Iniciar sesión (una)] \approx l o sol (μ_{una}) - \frac{σ_{una}^{2}}{2 μ_{una}^{2}}

$\text{E}\left[\log(a)\right]\approx log(\mu_a) -\frac{\sigma_a^2}{2\mu_a^2}$

Var [Iniciar sesión (una)] \approx σ_{una}^{2} / / μ_{una}^{2}

$\text{Var}\left[\log(a)\right]\approx \sigma^2_a/\mu_a^2$

* Para que esto sea una buena aproximación general que desea la desviación estándar de ser bastante pequeña en comparación con la media (bajo coeficiente de variación). $a$

— Glen_b -Reinstate a Monica
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Debido a que la serie Taylor para log tiene un radio de convergencia relativamente pequeño, se recomienda precaución al aplicar estas aproximaciones.

— whuber

@whuber para una expansión en torno a la media, creo que esto correspondería al consejo de que "la desviación estándar de

debería ser bastante pequeña en comparación con la media" con la que termina mi respuesta, si me estoy perdiendo algún problema adicional que ese consejo no cubre debo arreglar mi respuesta.

a

$a$

— Glen_b -Reinstate a Monica

La aproximación para la media funciona bastante bien para

y para la varianza funciona bastante bien para

o menos.

μ / σ > 1.5

$\mu/\sigma \gt 1.5$

μ / σ > 2.5

$\mu/\sigma \gt 2.5$

— whuber

En cualquier caso, vale la pena tener claro que confiamos indirectamente en la convergencia de

(ya que

\ln (1 + x)

$\ln(1+x)$

\ln (μ + y - μ) = \ln [μ {1 + (y - μ) / μ}] = \ln (μ) + \ln [1 + (y - μ) / μ]

$\ln(\mu + y-\mu) = \ln[\mu\{1 + (y - \mu)/\mu\}] = \ln(\mu) + \ln[1 + (y - \mu)/\mu]$ ) Gracias también por los valores explícitos sugeridos; en todo caso, tal vez soy un poco cauteloso cuando lo uso. Dos valiosos comentarios.

— Glen_b: reinstala a Monica