Matriz de covarianza para el proceso gaussiano y la distribución de Wishart

Estoy leyendo este documento sobre Procesos Wishart Generalizados (GWP). El documento calcula las covarianzas entre diferentes variables aleatorias (siguiendo el Proceso Gaussiano ) utilizando la función de covarianza exponencial al cuadrado, es decir, . Luego dice que esta matriz de covarianza sigue a GWP. $K(x,x') = \exp\left(-\frac{|(x-x')|^2}{2l^2}\right)$

Solía pensar que una matriz de covarianza calculada a partir de la función de covarianza lineal ( ) $K(x,x') = x^Tx'$ , sigue la distribución de Wishart con los parámetros apropiados.

Mi pregunta es, ¿cómo podemos asumir que la covarianza sigue una distribución de Wishart con la función de covarianza exponencial al cuadrado? Además, en general, ¿cuál es la condición necesaria para que una función de covarianza produzca una matriz de covarianza distribuida de Wishart?

— pescado estable
fuente

Lo que está mezclado es la especificación de covarianza en términos del espacio ambiente en el que se define el proceso gaussiano, y la operación que transforma una variable aleatoria gaussiana de dimensión finita para producir una distribución Wishart.

Si es una variable aleatoria gaussiana dimensional (un vector de columna) con media 0 y matriz de covarianza , la distribución de es una distribución de Wishart . Tenga en cuenta que es una matriz . Este es un resultado general sobre cómo la forma cuadrática $\mathbf{X} \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ $p$ $\Sigma$ $\mathbf{W} = \mathbf{X} \mathbf{X}^T$ $W_p(\Sigma, 1)$ $\mathbf{W}$ $p \times p$

x \mapsto x x^{T}

$\mathbf{x} \mapsto \mathbf{x} \mathbf{x}^T$ transforma una distribución gaussiana en una distribución Wishart. Es válido para cualquier elección de matriz de covarianza definida positiva

. Si tiene iid observaciones

entonces con

la distribución de

es una distribución de Wishart

. Dividiendo por

obtenemos la matriz de covarianza empírica

una estimación de

Σ

$\Sigma$

X_{1}, \dots, X_{n}

$\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_n$

W_{i} = X_{i} X_{i}^{T}

$\mathbf{W}_i = \mathbf{X}_i \mathbf{X}_i^T$

W_{1} + \dots + W_{n}

$\mathbf{W}_{1} + \ldots + \mathbf{W}_n$

W_{p} (Σ, n)

$W_p(\Sigma, n)$

n

$n$

-

$-$

Σ

$\Sigma$ .

Para los procesos gaussianos hay un espacio ambiental, digamos, por ejemplo, que es , de modo que las variables aleatorias consideradas están indexadas por elementos en el espacio ambiental. Es decir, se considera un proceso . Es gaussiano (y por simplicidad, aquí con media 0) si sus distribuciones marginales de dimensión finita son gaussianas, es decir, si $\mathbb{R}$ $(X(x))_{x \in \mathbb{R}}$ para todo . La elección de lafuncióndecovarianza, como lo menciona el OP, determina la matriz de covarianza, es decir,

X (x_{1}, \dots, x_{p}) := (X (x_{1}), \dots, X (x_{p}))^{T} \sim N (0, Σ (x_{1}, \dots, x_{p}))

$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) := (X(x_1), \ldots, X(x_p))^T \sim \mathcal{N}(0, \Sigma(x_1, \ldots, x_p))$

x_{1}, \dots, x_{p} \in R

$x_1, \ldots, x_p \in \mathbb{R}$

Sin tener en cuenta la elección de

la distribución de

será un Wishart

cov (X (x_{i}), X (x_{j})) = Σ (x_{1}, \dots, x_{p})_{i, j} = K (x_{i}, x_{j}) .

$\text{cov}(X(x_i), X(x_j)) = \Sigma(x_1, \ldots, x_p)_{i,j} = K(x_i, x_j).$

K

$K$

X (x_{1}, \dots, x_{p}) X (x_{1}, \dots, x_{p})^{T}

$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) \mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p)^T$

-distribución.

W_{p} (Σ (x_{1}, \dots, x_{p}), 1)

$W_p(\Sigma(x_1, \ldots, x_p), 1)$

— NRH
fuente

Gracias por responder esto. Tengo algunas preguntas, reg. su respuesta -Cuando usted dice que la transformación que transforma el dist Gaussiano en el dist de Wishart es válida para cualquier opción de + ve matriz de cov definida, ¿qué opciones de diferencia tenemos para esta matriz de cov? Además, solo para aclarar: para la matriz cov definida por la función cov, i y j indican elementos en el espacio ambiental del Proceso Gaussiano (por ejemplo, si es un proceso temporal, entonces, los instantes de tiempo t_1 y t_2).

— steadyfish

i

$i$

j

$j$

x_{i}

$x_i$

x_{j}

$x_j$

Σ

$\Sigma$

-

$-$

Σ

$\Sigma$

Σ

$\Sigma$

x^{T} x

$x^{T}x$

@ Steadyfish, oh, ya veo. De hecho, estaba descuidado con las transposiciones y si los vectores eran vectores de fila o columna. He hecho eso ahora preciso y agregué un poco sobre la relación entre la matriz de covarianza empírica y la matriz de covarianza teórica. Lo teórico no está definido en términos de las observaciones.

— NRH