Teorema del límite central y la ley de los grandes números.

Tengo una pregunta para principiantes con respecto al Teorema del límite central (CLT):

Soy consciente de que el CLT establece que una media de las variables aleatorias iid está distribuida aproximadamente de manera normal (para , donde es el índice de los sumandos) o la variable aleatoria estandarizada tendría una distribución normal estándar. $n \to \infty$ $n$

Ahora, la Ley del Gran Número establece, en términos generales, que la media de las variables aleatorias iid converge (en probabilidad o casi con seguridad) a su valor esperado.

Lo que no entiendo es: si, como dice el CLT, la media se distribuye aproximadamente de manera normal, ¿cómo puede también converger al valor esperado al mismo tiempo?

La convergencia implicaría para mí que con el tiempo la probabilidad de que la media tome un valor que no sea el valor esperado es casi cero, por lo tanto, la distribución no sería realmente normal, sino casi cero en todas partes, excepto en el valor esperado.

Cualquier explicación es bienvenida.

— Pegah
fuente

La clave de la respuesta radica en dónde aparece la palabra "estandarizado" en su pregunta.

— whuber

Lo siento pero no estoy seguro de entender.

— Pegah

Sugerencia: un teorema es sobre que tiene varianza , el otro sobre que tiene varianza .

\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_i X_i$

σ^{2}

$\sigma^2$

\frac{1}{n} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{n}\sum_i X_i$

\frac{σ^{2}}{n}

$\frac{\sigma^2}{n}$

— Dilip Sarwate

El Teorema del límite central trata sobre el viaje y la Ley fuerte de grandes números trata sobre el destino.

— cardenal

Esta figura muestra las distribuciones de las medias de (azul), (rojo) y (oro) distribuciones normales independientes e idénticamente distribuidas ( iid ) (de varianza unitaria y media ): $n=1$ $10$ $100$ $\mu$

Tres archivos PDF superpuestos

A medida que aumenta, la distribución de la media se vuelve más "enfocada" en . (El sentido de "enfoque" se cuantifica fácilmente: dado cualquier intervalo abierto fijo rodea , la cantidad de distribución dentro de aumenta con tiene un valor límite de ). $n$ $\mu$ $(a,b)$ $\mu$ $[a,b]$ $n$ $1$

Sin embargo, cuando estandarizamos estas distribuciones, redimensionamos cada una de ellas para que tengan una media de y una varianza unitaria: todas son iguales entonces. Así es como vemos que aunque los archivos PDF de los medios en sí mismos se están disparando hacia arriba y se centran en , sin embargo, cada una de estas distribuciones todavía tiene una forma Normal , a pesar de que difieren individualmente. $0$ $\mu$

El Teorema del límite central dice que cuando comienzas con cualquier distribución, no solo una distribución normal, que tiene una variación finita, y juegas el mismo juego con medias de valores iid a medida que aumenta, ves lo mismo: la media Las distribuciones se centran alrededor de la media original (la Ley débil de los números grandes), pero las distribuciones medias estandarizadas convergen a una distribución Normal estándar (el Teorema del límite central). $n$ $n$

— whuber
fuente

@buena respuesta bastante buena, agradeceré alguna explicación de lo que entendemos por la Ley Débil de Número Grande.

— Subhash C. Davar

@subhash Ver en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers#Weak_law .

— whuber